中山大学《高等数学》课件-第2章一元函数微分学及其应用.pptxVIP免费

1第二章一元函数微分学及其应用第二章一元函数微分学及其应用中山大学《高等数学》2第二章一元函数微分学及其应用内容导航第二章第二节导数的计算法则第三节微分的概念与应用第四节微分中值定理及其应用第五节泰勒中值定理第六节函数的性态与图形第七节导数的实际应用第一节导数的概念及基本求导公式3第二章一元函数微分学及其应用一、割线与切线在中学数学中，圆的切线可以定义为“与圆只有一个交点的直线”（见图2-4）.yOyOx图2-4图2-5但对于一般曲线，这样定义是不合适的。例如，直线与抛物线只有一个交点（见图2-5），但显然不是实际意义下的切线.1x2yx2yx1xx2+y2x下面我们用极限的思想给出一般曲线的切线的定义.4第二章一元函数微分学及其应用一、割线与切线设曲线:，，在曲线上取点及点，连接，则为过点的割线，割线的倾角为（见图2-6）.CyfxxIC00,Mxy,NxyMNMMN0000()()tanyyfxfxxxxxMN则割线的斜率为yxOCMNyfx0xxΔyΔx图2-6导数的几何意义5第二章一元函数微分学及其应用一、割线与切线000000()()limlimxxxxyyfxfxkxxxx从上面的例子可以看出，在求切线斜率的过程中，需要用到极限000()()limxxfxfxxx当，即时，如果割线趋于一极限位置，我们就把此极限位置上的直线称为曲线在点处的切线.x→x0NMMMT此刻切线的斜率即为yxOCMNyfxTα0xxΔyΔx图2-66第二章一元函数微分学及其应用二、导数的定义定义设函数在的某个邻域内有定义，当在处增量为（在该邻域内）时，相应地，函数有增量.yfx0xx0xx0xx00yfxxfx0000000()()limlimlimxxxxfxxfxfxfxyxxxx存在，则称该极限为在点处的导数，记为yfx0x0fx，0xxy0ddxxyx，或0d()dxxfxx如果7第二章一元函数微分学及其应用二、导数的定义这时也称函数在点处可导.yfx0x如果该极限不存在，称函数在点处不可导.yfx0x特别地，如果时，也称函数在点处的导数为无穷大.0limxyxyfx0x8第二章一元函数微分学及其应用二、导数的定义例如，对于函数在点处（见图2-7），2,yx0x0limxyx2000+0=limlim0xxxxx，极限存在.yxO图2-7而对于函数在点处（见图2-8），||,yx0x0limxyx00|0+||0|||=limlimxxxxxx，极限不存在.Oxy图2-8||yx2yx由此可知，...