2013考研数学高数中值定理公开课讲义(汤家凤).pdfVIP免费

-1-中值定理及应用一、预备知识1、极值点与极值—设连续))((Dxxfy，其中Dx0。若存在0，当||00xx时，有)()(0xfxf，称0xx为)(xf的极大点；若存在0，当||00xx时，有)()(0xfxf，称0xx为)(xf的极小点，极大点和极小点称为极值点。2、极限的保号性定理定理设)0(0)(lim0Axfxx，则存在0，当||00xx时，)0(0)(xf，即函数极限大于零则邻域大于零；极限小于零则邻域小于零。【证明】设0)(lim0Axfxx，取020A，因为Axfxx)(lim0，由极限的定义，存在0，当||00xx时，2|)(|AAxf，于是02)(Axf。3、极限保号性的应用【例题1】设2|1|)(lim,0)1(1xxffx，讨论1x是否是极值点。【例题2】（1）设0)(af，讨论ax是否是)(xf的极值点；（2）设0)(af，讨论ax是否是)(xf的极值点。【解答】（1）设0)(af，即0)()(limaxafxfax，由极限的保号性，存在0，当||0ax时，有0)()(axafxf。当),(aax时，)()(afxf；当),(aax时，)()(afxf。显然ax不是)(xf的极值点。（2）设0)(af，即0)()(limaxafxfax，由极限的保号性，存在0，当||0ax时，有0)()(axafxf。当),(aax时，)()(afxf；当),(aax时，)()(afxf。显然ax不是)(xf的极值点。【结论1】设连续函数)(xf在ax处取极值，则0)(af或)(af不存在。【结论2】设可导函数)(xf在ax处取极值，则0)(af。二、一阶中值定理定理1（罗尔中值定理）设函数)(xf满足：（1）],[)(baCxf；（2）)(xf在),(ba内可导；（3）)()(bfaf，则存在),(ba，使得0)(f。定理2（Lagrange中值定理）设)(xf满足：（1）],[)(baCxf；（2）)(xf在),(ba内可导，则存在),(ba，考试点www.kaoshidian.com-2-使得abafbff)()()(。【注解】（1）中值定理的等价形式为：))(()()(abfafbf，其中),(ba；))](([)()(ababafafbf，其中10。（2）对端点ba,有依赖性。（3）端点ba,可以是变量，如))(()()(axfafxf，其中是介于a与x之间的x的函数。定理3（Cauchy中值定理）设)(),(xgxf满足：（1）],[)(),(baCxgxf；（2）)(),(xgxf在),(ba内可导；（3）),(,0)(baxxg，则存在),(ba，使得)()()()()()(gfagbgafbf。题型一：证明0)()(nf【例题1】...