高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第3讲利用导数研究函数的单调性、极值与最值专题一2022内容索引0102必备知识•精要梳理关键能力•学案突破必备知识•精要梳理1.导数的几何意义函数f(x)在x=x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f'(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).温馨提示求曲线的切线方程时,要注意是在点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点.2.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.①f'(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在区间(-∞,+∞)上单调递增,但f'(x)≥0.②f'(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,如函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)为常数函数.(2)求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0.(3)若f(x)在区间D上单调递增,转化为在区间D上f'(x)≥0恒成立;若f(x)在区间D上单调递减,转化为在区间D上f'(x)≤0恒成立(注意:f'(x)=0在区间D的任意子区间上不恒成立).注意带“=”(4)若f(x)在区间D上存在单调递增区间,转化为f'(x)>0在区间D上有解;若f(x)在区间D上存在单调递减区间,转化为f'(x)<0在区间D上有解.注意不带“=”3.利用导数研究函数的极值、最值(1)若f'(x0)=0,且在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若f'(x0)=0,且在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,则f(x)在区间[a,b]上必有最大值和最小值,且在极值点或端点处取得.(3)若函数在开区间或无穷区间上有唯一的极值,则其即为相应的最值.这个条件不可少易错提醒若函数的导数存在,则某点处的导数等于零是函数在该点取得极值的必要不充分条件,因此已知极值点求参数值时要注意检验.关键能力•学案突破突破点一突破点二突破点三突破点一导数的几何意义[例1—1](2021·山东实验中学一模)若存在a>0,使得函数f(x)=6a2lnx与g(x)=x2-4ax-b的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同,则b的最大值为()A.-13e2B.-16e2C.16e2D.13e2突破点一突破点二突破点三答案D解析设公共点为P(x0,y0),依题意有f(x0)=g(x0),f'(x0)=g'(x0),又f'(x)=6𝑎2𝑥,g'(x)=2x-4a,于是൝6𝑎2ln𝑥0=𝑥02-4𝑎𝑥0-𝑏,6𝑎2𝑥0=2𝑥0-4𝑎.由6𝑎2𝑥0=2x0-4a得𝑥02-2ax0-3a2=0,解得x0=3a或x0=-a,由题意知x0>0,a>0,所以x0=-a不符合题意,所以x0=3a,将其代入6a2l...
