高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI素养提升微专题(三)三角函数问题的解题技巧——“变角”“变式”第一编2022规律方法三角函数的求值、化简以及研究函数性质等问题的本质是处理其中的“角”和“式”,其核心技巧也在于处理“角”和“式”之间的关系,通过合理地“变角”“变式”,达到解决问题的目的.(1)变角:变角的目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”,常常从和角、差角、二倍角、半角、互补、互余等关系入手.(2)变式:一是通过变换函数名称减少函数种类,其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等;二是根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”“逆用变用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.考查角度角度一变角[例1—1](2021·山东淄博月考)已知θ∈(0,π),cosቀ5π6-𝜃ቁ=-1213,则tanቀ𝜃+π6ቁ=.答案512解析由于θ∈(0,π),所以-π6<5π6-θ<5π6,又因为cosቀ5π6-𝜃ቁ=-1213,所以π2<5π6-θ<5π6,因此sinቀ5π6-𝜃ቁ=ට1-cos2ቀ5π6-𝜃ቁ=513,所以tanቀ5π6-𝜃ቁ=-512,故tanቀ𝜃+π6ቁ=tanቂπ-ቀ5π6-𝜃ቁቃ=-tanቀ5π6-𝜃ቁ=512.名师点析考虑到角5π6-θ与角θ+π6互为补角,可运用诱导公式,将tanቀ𝜃+π6ቁ化为-tanቀ5π6-𝜃ቁ,通过同角的三角函数关系式求解.[例1—2](2021·湖北武汉期中)已知tan(α+π4)=7,且π<α<3π2,则sinα=()A.35B.-35C.45D.-45答案B解析tanα=tanቀ𝛼+π4-π4ቁ=7-11+7×1=34,即sin𝛼cos𝛼=34, π<α<3π2,∴sinα=-35.破题技巧充分利用角的变换解决问题在解决三角函数问题时,要注意逆向思维,充分利用“角的变换”处理问题,例如:α=等,注意观察已知角,分析未知角,用已知角表示未知角,可以简化计算求解的过程,避免直接套用和角、差角公式而造成解题过程繁杂.ቀ𝛼+π4ቁ−π4=ቀ𝛼-π4ቁ+π4=𝛼+𝛽2+𝛼-𝛽2[例1-3](2021·湖南衡阳模拟)若sinα(1+tan10°)=1,则钝角α=.ξ3答案130°解析由已知得sinα=11+ξ3tan10°=cos10°cos10°+ξ3sin10°=cos10°2sin(10°+30°)=cos10°2sin40°=sin80°2sin40°=2sin40°cos40°2sin40°=cos40°=sin50°=sin130°,故钝角α=130°.名师点析本题通过辅助角公式、二倍角公式、诱导公式的运用,将非特殊角不断进行转化,最终化为符合要求的角,体现了变角的重要作用.角度二变式[例2—1](2021·江苏扬州模拟)已知sin2θ=23,则tan2ቀ𝜃-π4ቁ的值等于()A.15B.65C.5D.6答案A解析由已知...
