高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI第1课时等差数列前n项和的推导及初步应用第一章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法.(逻辑推理)2.掌握等差数列的前n项和公式,能够运用公式解决相关问题.(数学运算)3.理解Sn与an的关系,并能运用这个关系解决相关问题.(数学运算)思维脉络等差数列的前n项和ەۖ۔ۖۓ前n项和公式൞定义推导应用由Sn求an课前篇自主预习激趣诱思高斯是伟大的数学家、天文学家.高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家出道题目,1+2+…+100的和是多少?”过了两分钟,正当大家按“1+2=3,3+3=6,4+6=10……”的方法算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说:“1+2+3+…+100=5050.”老师问:“你是如何算出答案的?”高斯回答说:“因为1+100=101,2+99=101,……,50+51=101,所以101×50=5050.”这个故事告诉我们:要像数学王子高斯一样善于观察,敢于思考,从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.这个小故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法——“倒序相加”法.知识梳理一、等差数列的前n项和对首项为a1,公差为d的等差数列{an},设Sn是等差数列{an}的前n项和,即Sn=a1+a2+a3+…+an.注意等式两端角标“n”的一致性微判断(1)若数列{an}的前n项和为Sn,则S1=a1.()(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn与an不可能相等.()√×二、等差数列的前n项和公式名师点析(1)两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形式之一.(2)公式Sn=n(a1+an)2表明等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.(3)当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式Sn=n(a1+an)2.用此公式时,有时要结合等差数列的性质,如a1+an=ak+an-k+1,从而有Sn=n2(ak+an-k+1).(4)当已知首项a1,公差d及项数n时,用公式Sn=na1+n(n-1)2d.微判断(1)等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法.()(2)1+2+3+…+100=100×(1+100)2.()(3)等差数列的前n项和,等于其首项、第n项的等差中项的n倍.()√√√微练习等差数列{an}中a1=2,a2=3,则其前10项的和S10=.答案65解析由a1=2,a2=3得d=1,故S10=10a1+×10×9d=10×2+45=65.12三、数列中an与Sn的关系对于一般数列{an},设其前n项和为Sn,则有an=名师点析(1)这一关系对任何数列都适用.(2)若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通项公式中,令n=1求得a1与利用a1=S1求...
