第一章　1.3　第3课时　直线方程的一般式、点法式.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第一章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课前篇 自主预习,激趣诱思,由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.(1)斜率是1,经过点A(1,8);(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45.同学们,根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,可得到四种情况下的直线方程分别为:(1)y-8=x-1;,(4)y=x+7.,如果我们画出这4条直线的图象,你会惊奇地发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样这几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线方程的一般式.,知识点拨,一、直线方程的一般式1.定义在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程;任何关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax+By+C=0(其中A,B不全为0)称为直线方程的一般式.,2.直线方程的一般式与其他形式的互化,微判断(1)任何直线方程都能表示为一般式.()(2)任何直线方程的一般式都能与种形式互化.()(3)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B0时,方程表示斜率不存在的直线.()(4)当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0也可以表示一条直线.(),微练习直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为;化为截距式为.,二、直线方程的点法式1.法向量与直线的方向向量垂直的向量称为直线的法向量,直线的法向量和方向向量都反映了直线的方向.若直线l经过点P,且一个法向量为n,则直线l上不同于点P的任意一点M都满足n=0.反之,满足n=0的任意一点M一定在直线l上.,2.直线方程的点法式在平面直角坐标系中,已知直线l经过点P(x0,y0),且它的一个法向量为n=(A,B),直线l上的任意一点M的坐标为(x,y),则方程A(x-x0)+B(y-y0)=0称为直线方程的点法式.名师点析确定直线方程的点法式需要知道直线的法向量和直线一个确定的点,这个点可以是直线上任意一点;如果已知直线上两点也可以用点法式确定直线的方程,首先求出直线的方向向量,然后求出直线的法向量代入点法式即可.,微练习(1)写出直线l:x-y-1=0的一个法向量n=.(2)写出直线l:x+2y=0的一个方向向量a=.答案(1)(1,-1)(答案不唯一)(2)(2,-1)(答案不唯一),解析(1)因为直线l:Ax+By+C=0,法向量n为(A,B)或(-A,-B),所以x-y-1=0的A=1,B=-1,即一个法向量n=(1,-1).(2)因为直线l:Ax+By+C=0,法向量n为(A,B)或(-A,-B),所以x+2y=0的A=1,B=2,即一个法向量n=(1,2),方向向量为a=(2,-1).,课堂篇 探究学习,例1根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式:(1)斜率是,且经过点A(5,3);(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;(3)经过点A(-1,5),B(2,-1)两点;(4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1;(5)经过点B(4,2),且平行于x轴.,(2)由斜截式,得直线方程为y=4x-2,即4x-y-2=0.,即x+3y+3=0.(5)y-2=0.,2.在求直线方程时,设一般式有时并不简单,常用的还是根据给定条件选择四种特殊形式之一求方程,然后再转化为一般式.,变式训练1根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.(1)斜率是-,且经过点A(8,-6)的直线方程为;(2)在x轴和y轴上的截距分别是 和-3的直线方程为;(3)经过点P1(3,-2),P2(5,-4)的直线方程为.,答案(1)x+2y+4=0(2)2x-y-3=0(3)x+y-1=0,例2已知直线l经过点A(3,2),而且v=(3,-4)是直线l的一个法向量,求直线l方程的一般式.,解(方法一)设P(x,y)为平面直角坐标系中任意一点,则P在直线l上的充要条,所以3(x-3)+(-4)(y-2)=0,整理可得一般式方程为3x-4y-1=0.(方法二)因为v=(3,-4)是直线l的一个法向量,所以可以设l的方程为3x-4y+C=0.代入点A(3,2),可求得C=-1,因此直线l的方程为3x-4y-1=0.,延伸探究1将本例中的“v=(3,-4)是直线l的一个法向量”改为“v=(3,-4)是直线l的一个方向向量”,求直线方程的一般式.,解 设直线的法向量为n=(A,B),则nv=3A-4B=0,令A=4,得B=3,n=(4,3).直线方程的点法式为4(x-3)+3(y-2)=0,化简,得直线的一般式为4x+3y-18=0.,延伸探究2如果直线l过点P(x0,y0),且直线l的方向向量为a=(u,v)(u0),求直线l的方程.,解 直线的方向向量为a=(u,v),变式训练2已知P是直线l上一 点,且v是直线l的一个法向量,根据下列条件分别求直线l的方程:,(1)P(1,2),v=(3,-4);(2)P(-1,2),v=(3,4).,解(1)直线l过点P(1,2),其法向量是v=(3,-4),直线l的方程是3(x-1)+(-4)(y-2)=0,整理,得3x-4y+5=0.(2)直线l过点P(-1,2),其法向量是v=(3,4),直线l的方程是3(x+1)+4(y-2)=0,整理,得3x+4y-5=0.,与直线方程的一般式有关的参数问题典例在平面直角坐标系xOy中,设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.(1)已知直线l在x轴上的截距为-3,求m的值;(2)已知直线l的斜率为1,求m的值.,解得 m=-2或m=-1(舍去).m=-2.,点评(1)若方程Ax+By+C=0表示直线,则需满足A,B不同时为0.(2)令x=0可得直线在y轴上的截距.令y=0可得直线在x轴上的截距.若确定直线斜率存在,可将一般式化为斜截式.(3)解分式方程要注意验根.,1.在平面直角坐标系中,直线x+y-3=0的倾斜角是()A.30 B.60C.150D.120答案 C,2.过点(-3,0)和(0,4)的直线的一般式方程为()A.4x+3y+12=0B.4x+3y-12=0C.4x-3y+12=0D.4x-3y-12=0,答案 C,3.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足()A.m0,答案 C解析 因为方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,所以2m2+m-3=0,m2-m=0不能同时成立,解得 m1.,答案 4x+3y-12=0,5.如果直线l过点P(1,3),且直线l的法向量为a=(-3,1),则直线l的方程为.答案 3x-y=0解析 由直线的点法式方程,得-3(x-1)+(y-3)=0,化简得直线l的方程为3x-y=0.,6.若直线(2a2-4a)x+(a2-4)y+5a2=0的倾斜角是,则实数a=.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,