4.3.2等比数列的前n项和公式第二课时数列求和.pptVIP免费

第二课时数列求和题型一分组转化法求和[学透用活](1)公式法是数列求和常用的方法，等差数列{an}的前n项和公式Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d，等比数列{an}的前n项和公式Sn＝na1，q＝1，a1－anq1－q＝a11－qn1－q，q≠1.(2)若一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加．[典例1]已知等差数列{an}满足a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝an＋qan(q＞0)，求数列{bn}的前n项和Sn.[解](1)设数列{an}的公差为d，则由a5＝9，a2＋a6＝14，得a1＋4d＝9，2a1＋6d＝14，解得a1＝1，d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1.当q＞0且q≠1时，Sn＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋q7＋…＋q2n－1)＝n2＋q1－q2n1－q2；当q＝1时，bn＝2n，则Sn＝n(n＋1)．所以数列{bn}的前n项和Sn＝nn＋1，q＝1，n2＋q1－q2n1－q2，q＞0且q≠1.[方法技巧]分组转化法求和的常见类型[提醒]某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．[对点练清]已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n2，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n2－n－12＋n－12＝n.a1＝1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝21－22n1－2＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.题型二裂项相消法求和[学透用活]几种常见的裂项方式数列(n为正整数)裂项方式1nn＋k(k为非零常数)1nn＋k＝1k1n－1n＋k14n2－114n2－1＝1212n－1－12n＋11n＋n＋11n＋n＋1＝n＋1－nloga1＋1n(a>0，且a≠1)loga1＋1n＝loga(n＋1)－logan[典例2]已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝－log3an，求...