(一)教材梳理填空1．空间向量的夹角图示定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA―→＝a，OB―→＝b，则叫做向量a，b的夹角，记作________范围通常规定：≤〈a，b〉≤____，当〈a，b〉＝___时，a与b垂直，记作_____∠AOB0〈a，b〉ππ2a⊥b2.空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则_____________叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝________________．[微提醒]零向量与任意向量的数量积为0.(2)由数量积的定义，可以得到：a⊥b⇔________；a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝____.|a||b|cos〈a，b〉|a||b|cos〈a，b〉a·b＝0|a|23．投影向量(1)在空间，向量a向向量b投影：如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝________________，称向量c为向量a在向量b上的投影向量．(2)向量a在直线l上的投影如图(2)．|a|cos〈a，b〉·b|b|(3)向量a向平面β投影：如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量A′B′――→，向量______称为向量a在平面β上的投影向量．A′B′――→4．空间向量数量积的运算律(1)(λa)·b＝______，λ∈R；(2)a·b＝_______(交换律)；(3)a·(b＋c)＝_________(分配律)．[微提醒](1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零；(2)向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立．λ(a·b)b·aa·b＋a·c(二)基本知能小试1．判断正误(1)向量AB―→与CD―→的夹角等于向量AB―→与DC―→的夹角．()(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(3)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等．()(4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.()(5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是()A.AB―→与A′C′――→B．AB―→与C′A′――→C.AB―→与A′D――→D．AB―→与B′A′――→答案：A3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________.答案：2π3题型一空间向量数量积的运算[学透用活][典例1]如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于m，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，求下列向量的数量积．(1)AB―→·AC―→；(2)AD―→·BD―→；(3)GF―→·AC―→；(4)EF―→·BC―→.[解]设AB―→＝a，AC―→＝b，AD―→＝c，依题意得a2＝b2＝c2＝m2...
