高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI12.4*复数的三角形式第12章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.(数学抽象)2.理解复数的代数形式与三角形式之间的关系.(数学抽象)3.理解复数乘、除运算的三角表示.(数学运算、直观想象)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】1.如图①,角θ的终边上一点P(x,y),设P到原点O的距离|OP|=r,那么怎样用角θ和r表示x,y?图①图②2.我们知道,复数可以用a+bi(a,b∈R)的形式来表示,复数a+bi与复平面内的点Z(a,b)一一对应,与平面向量𝑂𝑍ሬሬሬሬሬԦ=(a,b)也是一一对应的,如图②,你能用向量𝑂𝑍ሬሬሬሬሬԦ的模r和以x轴的非负半轴为始边,以向量𝑂𝑍ሬሬሬሬሬԦ所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗?【知识梳理】一、复数的三角形式1.由复数的几何意义可以知道,复数z=a+bi(a,b∈R)、复平面内的点Z(a,b)和平面向量𝑂𝑍ሬሬሬሬሬԦ之间存在着一一对应的关系.如图,以x轴的非负半轴为始边、向量𝑂𝑍ሬሬሬሬሬԦ所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi的辐角.2.任一非零的复数z=a+bi的辐角有无限个值,这些值相差2π的整数倍.我们把其中适合于0≤θ<2π的辐角θ的值叫作复数z=a+bi的辐角主值,记作argz,即0≤argz<2π.辐角有无限多个值,而辐角主值有且仅有一个3.两个非零复数相等,当且仅当它们的模与辐角主值分别相等.例如,arg1=0,argi=π2,arg(-1)=π,arg(-i)=3π2.4.一般地,任何一个非零复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.其中,r是复数z的模,且r=ξ𝑎2+𝑏2;θ是复数z的辐角,且cosθ=𝑎𝑟,sinθ=𝑏𝑟.r(cosθ+isinθ)称为复数z=a+bi的三角形式.为了与三角形式区分开来,a+bi叫作复数z的代数形式.微判断(1)复数0的辐角一定是0.()(2)一个给定的复数,其辐角也是唯一确定的.()(3)复数i的辐角可以为-π.()32××√微练习(2)将下列复数表示为三角形式:①-5i;②-10;③2-2i.(1)求复数1-i,-1+i,-ξ2,ξ2i的辐角主值.解(1)7π4,3π4,π,π2.(2)①-5i=5ቀcos32π+isin32πቁ.②-10=10(cosπ+isinπ).③2-2i=2ξ2ቀcos7π4+isin74πቁ.二、复数三角形式乘法法则与几何意义1.已知z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].这就是说,两个复数相乘,积的模等于这两个复数的模的积,积的辐角等于这两个复数的辐角的和.两个复数z1,z2相乘时,先在复平面内分别画出与复数z1,z2对应的向量...
