高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI10.2二倍角的三角函数第10章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.(逻辑推理)2.能利用公式进行简单的应用.(数学运算)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】大雁是人们熟知的鸟类之一,在迁徙时总是几十只、数百只,甚至上千只汇集在一起,互相紧接着列队而飞,古人称之为“雁阵”.“雁阵”由有经验的“头雁”带领,加速飞行时,队伍排成“人”字形,减速时,队伍又由“人”字形换成“一”字形.当飞在前面的“头雁”的翅膀在空中划过时,翅膀尖上就会产生一股微弱的上升气流,排在它后面的大雁就可以依次利用这股气流,从而节省体力.研究表明,大雁排成的“人”字队形的每边与前进方向的夹角约为55°,那么“人”字队形的夹角就是这个角的两倍,大约为110°.问题:这两个角的三角函数之间有什么关系?【知识梳理】二倍角的正弦、余弦、正切公式名师点析1.二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍,α是α2的二倍等.“倍”是描述两个数量之间的关系的,这里蕴含着换元思想.2.对于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α时,要保证分母1-tan2α≠0且tanα有意义,即α≠kπ+π4(k∈Z)且α≠kπ-π4(k∈Z)且α≠kπ+π2(k∈Z).当α=kπ+π4(k∈Z)及α=kπ-π4(k∈Z)时,tan2α的值不存在;当α=kπ+π2(k∈Z)时,tanα的值不存在,故不能用二倍角公式求tan2α,此时可以利用诱导公式直接求tan2α.3.一般情况下,sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.4.倍角公式的逆用更能拓展思路,我们要熟悉这组公式的逆用,如sin3αcos3α=12sin6α.微练习(1)已知sinα=35,cosα=45,则sin2α等于()A.75B.125C.1225D.2425(2)已知cosα=13,则cos2α等于()A.13B.23C.-79D.79(3)已知tanα=3,则tan2α等于()A.6B.-34C.-38D.98答案(1)D(2)C(3)B课堂篇探究学习探究一利用二倍角公式解决给角求值问题例1求下列各式的值:(1)sinπ12cosπ12;(2)1-2sin2750°;(3)2tan150°1-tan2150°.解(1)原式=2sinπ12cosπ122=sinπ62=14.(2)原式=cos(2×750°)=cos1500°=cos(4×360°+60°)=cos60°=12.(3)原式=tan(2×150°)=tan300°=tan(360°-60°)=-tan60°=-ξ3.反思感悟对于给角求值问题,一般有两类(1)直接正用或逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知角进行转化,一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特...
