6.2.3　向量的数乘运算.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI,第六章,2022,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算律,理解其几何意义.(数学抽象、直观想象)2.理解两个平面向量共线的含义.(数学抽象、直观想象)3.了解平面向量的线性运算性质,能用已知向量表示未知向量.(数学运算、直观想象),课前篇 自主预习,激趣诱思,夏季的雷雨天,我们往往先看到闪电,后听到雷声,雷声和闪电发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差?因为声速与光速的大小不同,光速是声速的88万倍.若设光速为v1,声速为v2,将向量类比于数,则有v1=880 000v2.对于880 000v2,我们规定是一个向量,其方向与v2相同,其长度为v2长度的880 000倍.这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘.那么向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的呢?,知识点拨,知识点一、向量的数乘运算,名师点析(1)a的几何意义就是把向量a沿着与a相同(0)或相反(1)或缩短(|1)到原来的|倍或|.(2)要注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如:2+a,1-0无意义.,微练习(1)若|a|=3,|b|=,则|-2a|=,|3b|=.(2)若a与b是相反向量,则5a与-4b的方向.,(2)5a与a同向,-4b与b反向,而a与b是相反向量,所以5a与-4b的方向相同.,知识点二、数乘向量的运算律1.数乘向量的运算律(1)(a)=()a;(2)(+)a=a+a;(3)(a+b)=a+b.特别地,有(-)a=-(a)=(-a);(a-b)=a-b.2.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数,1,2,恒有(1a2b)=1a2b.,微练习已知向量a,请通过作图判断以下结论是否成立.(1)3(2a)=6a;(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.,答案 各式均成立(如图).,(1)3(2a)=6a;,(2)(2+3)a=2a+3a;,(3)2(a+b)=2a+2b.,知识点三、向量共线定理1.向量a(a0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数,使 b=a.2.要证明向量a(a0),b共线,只需证明存在实数,使得b=a即可.,要点笔记该定理中a0的原因(1)若a=b=0,则实数存在,但并不唯一,此时定理不成立.(2)若b0,a=0,则不存在实数,使b=a,此时定理也不成立.,微练习若向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的有.(填序号)a=2e1,b=-2e1;a=e1-e2,b=-2e1+2e2;,a=e1+e2,b=2e1-2e2.,答案 解析 中,a=-b,所以a,b共线;中,b=-2a,所以a,b共线;中,a=4b,所以a,b共线;中,不存在R,使a=b,所以a,b不共线.,课堂篇 探究学习,例1(1)化简下列各向量表达式:,分析(1)根据向量的线性运算法则求解.(2)运用实数的二元一次方程组的解法求解.,解(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.,要点笔记向量数乘运算的方法向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.,A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为a=,b=.,分析先用向量加减法的几何意义设计好总体思路,然后利用平面图形的特征和向量的数乘的几何意义表示.,(1)答案 D,反思感悟 用已知向量表示其他向量的一般步骤,延伸探究本例(1)中,设AC与BD相交于点O,F是线段OD的中点,AF的延长线交DC于点G,试用a,b表示,(1)答案 A,B,D,反思感悟 1.证明或判断三点共线的方法(1)一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数,使得,2.利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数,使得b=a(a0).而已知向量共线求,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得的值.若两向量不共线,必有向量的系数为零.,(1)求证:A,B,M三点共线;(2)若点B在线段AM上,求实数的取值范围.,解决三角形的四心问题,A.外心B.内心C.重心D.垂心,答案 B,方法点睛(1)三角形的内心:三角形内切圆的圆心,三角形三条角平分线的交点,内心到三角形三边的距离相等.(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三条边的中垂线的交点,外心到三角形三个顶点的距离相等.若M是ABC内一点,且满足,(3)三角形的垂心:三角形三条高线的交点.,A.外心B.重心C.垂心D.内心,答案 B,1.设a是非零向量,是非零实数,则下列结论正确的是()A.a与a的方向相同B.a与-a的方向相反C.a与2a的方向相同D.|a|=|a|答案 C解析 因为0,所以20,于是向量a与2a的方向相同.,2.4(a-b)-3(a+b)-b等于()A.a-2bB.aC.a-6bD.a-8b答案 D解析 原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.,答案 C,5.已知两个非零向量a,b不共线,且ka+3b与2a+kb共线,求实数k的值.,解 因为ka+3b与2a+kb共线,所以存在实数,使ka+3b=(2a+kb),即ka+3b=2a+kb,即(k-2)a=(k-3)b.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,