高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI6.2.3向量的数乘运算第六章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算律,理解其几何意义.(数学抽象、直观想象)2.理解两个平面向量共线的含义.(数学抽象、直观想象)3.了解平面向量的线性运算性质,能用已知向量表示未知向量.(数学运算、直观想象)思维脉络课前篇自主预习激趣诱思夏季的雷雨天,我们往往先看到闪电,后听到雷声,雷声和闪电发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差?因为声速与光速的大小不同,光速是声速的88万倍.若设光速为v1,声速为v2,将向量类比于数,则有v1=880000v2.对于880000v2,我们规定是一个向量,其方向与v2相同,其长度为v2长度的880000倍.这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘.那么向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的呢?知识点拨知识点一、向量的数乘运算定义一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa长度|λa|=|λ||a|方向λ>0λa的方向与a的方向相同λ<0λa的方向与a的方向相反规定当λ=0或a=0时,λa=0名师点析(1)λa的几何意义就是把向量a沿着与a相同(λ>0)或相反(λ<0)的方向伸长(|λ|>1)或缩短(|λ|<1)到原来的|λ|倍或|λ|.(2)要注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如:2+a,1-0无意义.微练习(1)若|a|=3,|b|=,则|-2a|=,|3b|=.(2)若a与b是相反向量,则5a与-4b的方向.14答案(1)634(2)相同解析(1)因为|a|=3,|b|=14,所以|-2a|=2|a|=6,|3b|=3|b|=34.(2)5a与a同向,-4b与b反向,而a与b是相反向量,所以5a与-4b的方向相同.知识点二、数乘向量的运算律1.数乘向量的运算律(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.2.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.微练习已知向量a,请通过作图判断以下结论是否成立.(1)3(2a)=6a;(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.答案各式均成立(如图).(1)3(2a)=6a;(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.知识点三、向量共线定理1.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.2.要证明向量a(a≠0),b共线,只需证明存在实数λ,使得b=λa即可.3.由该性质定理知,若向量𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=λ𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ,则𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ,𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ共线.又...
