5．3导数在研究函数中的应用5．3.1函数的单调性1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．3．通过对函数单调性的判断，培养学生数学运算、数学抽象和直观想象的核心素养．新课程标准(一)教材梳理填空1．函数的单调性与其导函数正负的关系在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调____；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调____；如果在区间(a，b)上恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上是常数函数．递增递减2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较__，这时函数的图象就比较“____”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“____”．陡峭平缓快[微思考]在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．(二)基本知能小试1．判断正误(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()答案：(1)×(2)×(3)√2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)答案：D3．函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．答案：上升题型一判断或讨论函数的单调性[学透用活](1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.[典例1]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－3a，讨论函数f(x)的单调性．[解]由题设知a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3axx－2a，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2a.当a>0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0.∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．若x∈0，2a，则f′(x)<0，∴f(x)在区间0，2a上为减函数．若x∈2a，＋∞，则f′(x)>0，∴f(x)在区间2a，＋∞上为增函数．当a<0时，若x...
