数学选择必修第二册RJA第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用020304易错记重难斩高考遇模块导航01知识绘题型决05（详见教材划重点选择必修第二册RJAP108-P109）巩固练06重难斩要点1导数背景下函数单调性充要条件的探究例1函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则“函数y＝f(x)为R上的增函数”是“f′(x)>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】函数y＝f(x)为R上的增函数，说明f′(x)≥0在R上恒成立，且f′(x)在R的任意子区间内都不恒等于0，推不出f′(x)>0.由函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数及f′(x)>0显然能推出函数y＝f(x)在R上为增函数．所以“函数y＝f(x)为R上的增函数”是“f′(x)>0”的必要不充分条件．B重难斩要点2不等式在某区间上的恒成立问题例2设函数f(x)＝x2＋aln(x＋1)(a为常数)，若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．【解】由题意知，f′(x)＝2x2＋2x＋ax＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2－2x在[1，＋∞)上恒成立． －2x2－2x在[1，＋∞)上的最大值为－4，∴a≥－4.经检验，当a＝－4时，f′(x)＝2x2＋2x－4x＋1＝2（x＋2）（x－1）x＋1≥0，x∈[1，＋∞)．故实数a的取值范围是[－4，＋∞)．重难斩要点3证明不等式例3证明：对∀x≥0恒有不等式ln(1＋x)≥2x2＋x成立．【证明】设f(x)＝ln(1＋x)－2x2＋x，x∈[0，＋∞)，则f′(x)＝11＋x－2（2＋x）－2x（2＋x）2＝x2（1＋x）（2＋x）2.显然对∀x≥0，恒有f′(x)≥0，且f′(x)仅在x＝0处取等号．故函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝0，从而f(x)≥f(0)＝0.即ln(1＋x)≥2x2＋x，x∈[0，＋∞)．易错记易错点1求函数的单调区间时忽略定义域致误例1求函数f(x)＝ln(2－3x)的单调区间．【错解】f′(x)＝－32－3x＝33x－2.令f′(x)>0，得x>23；令f′(x)<0，得x<23.所以函数f(x)＝ln(2－3x)的单调递增区间为23，＋∞，单调递减区间为－∞，23.易错记【正解】由题意可知函数f(x)的定义域为－∞，23，f′(x)＝－32－3x＝33x－2，令f′(x)>0，得x>23；令f′(x)<0，得x<23.又函数f(x)的定义域为－∞，23，所以函数f(x)＝ln(2－3x)的单调递减区间为－∞，23，无单调递增区间．易错记1-1函数f(x)＝x＋4x－3lnx的单调递减区间是()A．(－1，4)B．(0，1)C．(4，＋∞)D．(0，4)D【解析】函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1－4x2－3x＝（x＋1）（x－4）x2.令f′(x)<0，解得0
