高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI2.1.3基本不等式的应用第2章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.能够利用基本不等式求代数式的最值.(数学运算)2.能够利用基本不等式解决实际问题中的最值问题.(数学建模)课前篇自主预习知识梳理知识点:利用基本不等式求最值已知x,y都为正数,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,和x+y有最小值2ඥp(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,积xy有最大值s24名师点析利用基本不等式求最值的注意事项在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件:一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可.一正:各项必须为正数.例如,求代数式x+1x的最值时,不能直接用x+1x≥2ටx·1x=2.取特殊值x=-1,x+1x=-2,可见x+1x的最小值不为2,产生错误的原因是这里的x不一定为正数.只有各项为正数时才能利用基本不等式.二定:积或和为定值.积为定值和有最小值;和为定值积有最大值.为了利用基本不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形.例如:①当x>2时,x+1x-2=(x-2)+1x-2+2≥2+2=4,当且仅当x=3时等号成立.②当00)123456789y(y>0)987654321xyxy111111111x(x>0)12345y(y>0)x+y根据以上表格,并结合基本不等式分析:(1)当x+y是定值时,xy有最大值还是最小值?最值等于什么?(2)当xy是定值时,x+y有最大值还是最小值?最值等于什么?提示填表略,(1)当x+y是定值时,xy有最大值,且最大值等于ቀx+y2ቁ2.(2)当xy是定值时,x+y有最小值,且最小值等于2ඥxy.微练习已知x>0,y>0.(1)若xy=4,则x+y的最小值是;(2)若x+y=4,则xy的最大值是.答案(1)4(2)4解析(1) x>0,y>0,xy=4,∴x+y≥2ඥxy=4,当且仅当x=y=2时,等号成立.∴x+y的最小值为4.(2)当x+y=4时,ඥxy≤x+y2=2,∴xy≤4,当且仅当x=y=2时,等号成立.∴xy的最大值为4.课堂篇探究学习探究一利用基本不等式求代数式的最值1.通过变形后应用基本不等式求最值例1求下列代数式的最值,并求出相应的x值.(1)x+12𝑥(x<0);(2)1𝑥-3+x(x>3);(3)x(1-3x)(0
