高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI1.7平面向量的应用举例第1章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.能运用平面向量的知识解决一些简单的平面几何问题和力学问题,体会向量在解决数学问题和实际问题中的应用.(数学建模、直观想象)2.掌握用向量法解决平面几何问题的方法.(数学运算)3.通过具体问题的解决,理解用向量知识研究物理问题的一般思路与方法,培养探究意识和应用意识,体会向量的工具作用.(数学抽象、数学运算)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】英国科学家赫胥黎应邀到都柏林演讲,由于时间紧迫,他一跳上出租车,就急着说:“快!快!来不及了!”司机遵照指示,猛开了好几分钟,赫胥黎才发现不太对劲,问道:“我没有说要去哪里吗?”司机回答:“没有啊!你只叫我快开啊!”赫胥黎于是说:“对不起,请掉头,我要去都柏林.”由此可见,速度不仅有大小,而且有方向.在我们的生活中,有太多的事物不仅与表示它的量的大小有关,还与方向有关.【知识点拨】知识点一:向量在平面几何中的应用1.由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.3.平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.这一结论,可以用向量表示为:(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2).微练习(1)已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形(2)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别是,.答案(1)A(2)2ξ104ξ2解析(1)因为A(1,2),B(2,3),C(-2,5),所以𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=(1,1),𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ=(-4,2),𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=(-3,3).因为𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ·𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=1×(-3)+1×3=0,所以AB⊥AC,即∠A=90°,所以△ABC为直角三角形.(2)以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线长分别是|𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ+𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ|和|𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ−𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ|. 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=(3,5),𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=(-1,1),∴𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ+...
