高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI习题课——数列求和第四章2021课标阐释思维脉络1.巩固等差数列、等比数列的前n项和公式.(逻辑推理)2.进一步熟练掌握错位相减法求和.(数学运算)3.理解并掌握数列求和的裂项相消法、分组求和法与并项转化法.(数学运算)数列求和ەۖۖ۔ۖۖۓ公式法错位相减法裂项相消法分组求和法并项转化法课堂篇探究学习探究一公式法求和例1(2021天津河东高二期末)已知数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn.(1)求{bn}的通项公式;(2)求b2+b4+b6+…+b2n的值.12解(1)由bn+1=12bn得𝑏𝑛+1𝑏𝑛=12,所以{bn}为等比数列,且首项b1=1,公比q=12.所以{bn}的通项公式为bn=(12)n-1.(2)b2=(12)2-1=12,q2=14,所以{b2n}是首项为12,公比为14的等比数列,所以b2+b4+b6+…+b2n=12[1-(14)𝑛]1-14=23[1-(14)n].方法技巧公式法求和主要是利用以下两个基本公式:(1)等差数列的前n项和公式Sn=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=na1+𝑛(𝑛-1)2d.(2)等比数列的前n项和公式①当q=1时,Sn=na1;②当q≠1时,Sn=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞=𝑎1-𝑎𝑛𝑞1-𝑞.变式训练1(2021河南开封高二期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=3,a7=13.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:𝑆𝑛2=(Sn)2.(1)解设等差数列{an}的公差为d,则d=𝑎7-𝑎27-2=2,所以an=a2+(n-2)d=2n-1.故数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)证明由(1)得,a1=1,Sn=𝑛[1+(2𝑛-1)]2=n2.所以𝑆𝑛2=(n2)2=n4,(Sn)2=(n2)2=n4.故𝑆𝑛2=(Sn)2.探究二裂项相消法求和例2在数列{an}中,an=1𝑛+1+2𝑛+1+…+𝑛𝑛+1,又bn=2𝑎𝑛𝑎𝑛+1,试求数列{bn}的前n项和.分析先根据已知条件求出an,再求出数列{bn}的通项公式,然后根据bn的特点,利用1𝑛(𝑛+1)=1𝑛−1𝑛+1对bn进行改写,最后求和.解由于an=1𝑛+1+2𝑛+1+…+𝑛𝑛+1=1+2+…+𝑛𝑛+1=𝑛(𝑛+1)2𝑛+1=𝑛2,所以bn=2𝑎𝑛𝑎𝑛+1=2𝑛2·𝑛+12=8𝑛(𝑛+1).而bn=8𝑛(𝑛+1)=8ቀ1𝑛-1𝑛+1ቁ,所以数列{bn}的前n项和Sn=b1+b2+…+bn=81×2+82×3+…+8𝑛(𝑛+1)=8ቀ1-12+12-13+…+1𝑛-1𝑛+1ቁ=8ቀ1-1𝑛+1ቁ=8𝑛𝑛+1.方法技巧裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的,其解题的关键就是准确裂项和消项.(1)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.(2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.(3)常见的裂项方法数列(n∈N*)裂项方法(n∈N*)ቄ1𝑛(𝑛+𝑘)ቅ(k为非零常数)1𝑛(𝑛+𝑘)=1𝑘(1𝑛−1𝑛+𝑘){1𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)}1...
