数学选择性必修第二册RJA第四章数列第四章全章总结例1已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{an}的通项公式．(2)设bn＝1n（an＋3）(n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在t，使得对任意n均有Sn>t36成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由．数学思想方法【解】(1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2. a1＝1，d>0，∴d＝2.∴an＝2n－1.∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.数学思想方法(2) bn＝1n（an＋3）＝12n（n＋1）＝121n－1n＋1，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝12[1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1]＝121－1n＋1＝n2（n＋1）.假设存在整数t满足Sn>t36对任意n∈N*均成立．又 Sn＋1－Sn＝n＋12（n＋2）－n2（n＋1）＝12（n＋2）（n＋1）>0，∴数列{Sn}单调递增．∴S1＝14为Sn的最小值，∴t36＜14，即t＜9.又 t∈Z，∴符合条件的t的最大值为8.数学思想方法例2已知等差数列{an}的前4项之和为－4，最后4项之和为36，且所有项之和为36，求其项数．【解】设数列{an}的项数为n.由题意得a1＋a2＋a3＋a4＝－4，①an＋an－1＋an－2＋an－3＝36.②①＋②得a1＋an＋a2＋an－1＋a3＋an－2＋a4＋an－3＝32，结合等差数列的性质知4(a1＋an)＝32，所以a1＋an＝8.又因为Sn＝n（a1＋an）2＝n2·8＝36，所以n＝9.即数列{an}的项数为9.数学思想方法例3已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．(1)求q的值；(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．数学思想方法【解】(1)由题得2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q. a1≠0，∴2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－12.(2)若q＝1，则Sn＝2n＋n（n－1）2·1＝n2＋3n2.当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝（n－1）（n＋2）2＞0，故Sn＞bn.若q＝－12，则Sn＝2n＋n（n－1）2×－12＝－n2＋9n4.当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝－（n－1）（n－10）4，故当n＝10时，Sn＝bn；当2≤n≤9时，Sn＞bn；当n≥11时，Sn＜bn.数学思想方法例4已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×2n，a1＝2，求数列{an}的通项公式．【解】在an＋1＝2an＋3×2n的两边同除以2n＋1，得an＋12n＋1＝an2n＋32，则an＋12n＋1－an2n＝32，故数列an2n是以a121＝22＝1为首项，32为公差的等差数列．由等差数列的通项公式得an2n＝1＋(n－1)×32，所以数列{an}的通项公式为an＝32n－122n.数学思想方法高考强化与强...
