高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI章末整合第一章2021内容索引0102知识网络整合构建专题归纳思维深化知识网络整合构建专题归纳思维深化专题一方程思想求解数列问题例1等差数列{an}的各项为正整数,a1=3,前n项和为Sn,等比数列{bn}中,b1=1,且b2S2=64,{}是公比为64的等比数列,求数列{an},{bn}的通项公式.𝑏𝑎𝑛解设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则d为正整数,an=3+(n-1)d,bn=qn-1.依题意有ቐ𝑏𝑎𝑛+1𝑏𝑎𝑛=𝑞𝑎𝑛+1-1𝑞𝑎𝑛-1=𝑞𝑑=64=26,①𝑏2𝑆2=𝑞(6+𝑑)=64,②由q(6+d)=64知q为正有理数,又由q=知d为6的因子1,2,3,6之一,解①②得d=2,q=8,故an=2n+1,bn=8n-1.26𝑑归纳提升在等比数列和等差数列中,通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量,即a1,an,n,q(d),Sn,其中首项a1和公比q(公差d)为基本量,“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1,an,n,q(d),Sn的方程组,通过方程的思想解出需要的量.变式训练1记等差数列{an}的前n项和为Sn,设S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列,求Sn.解设数列{an}的公差为d,依题设有൜2𝑎1(𝑎3+1)=𝑎22,𝑎1+𝑎2+𝑎3=12,即൜𝑎12+2𝑎1𝑑-𝑑2+2𝑎1=0,𝑎1+𝑑=4,解得ቄ𝑎1=1,𝑑=3或൜𝑎1=8,𝑑=-4.因此Sn=12n(3n-1)或Sn=2n(5-n),n∈N+.专题二转化与化归思想求解数列问题例2在数列{an}中,Sn为{an}的前n项和,且Sn+1=4an+2,a1=1.(1)设cn=,求证:数列{cn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式及前n项和的公式.𝑎𝑛2𝑛(1)证明 Sn+1=4an+2,①∴当n≥2,n∈N+时,Sn=4an-1+2.②①-②得an+1=4an-4an-1.对an+1=4an-4an-1两边同除以2n+1,得𝑎𝑛+12𝑛+1=2×𝑎𝑛2𝑛−𝑎𝑛-12𝑛-1,即𝑎𝑛+12𝑛+1+𝑎𝑛-12𝑛-1=2×𝑎𝑛2𝑛,即cn+1+cn-1=2cn,∴数列{cn}是等差数列.由Sn+1=4an+2,得a1+a2=4a1+2,则a2=3a1+2=5,∴c1=𝑎12=12,c2=𝑎222=54,故数列{cn}的公差d=54−12=34,∴{cn}是以12为首项,34为公差的等差数列.(2)解由(1)可知数列{𝑎𝑛2𝑛}是首项为12,公差为34的等差数列,∴𝑎𝑛2𝑛=12+34(n-1)=34n-14,∴an=(3n-1)·2n-2.∴Sn+1=4an+2=2n(3n-1)+2.∴Sn=2n-1·(3n-4)+2(n≥2).当n=1时,S1=1=a1,符合.∴Sn=(3n-4)2n-1+2(n∈N+).归纳提升由递推公式求通项公式,要求掌握的方法有两种:一种求法是先找出数列的前几项,通过观察、归纳得出,然后证明;另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列,再采用公式求出.变式训练2已知数列{an}的首项a1=a,其前n项和为Sn,且满足Sn+Sn-1=4n2(n≥2,n∈N+),若对任意n∈N+,an
