数学选择必修第二册RJA第五章一元函数的导数及其应用5第五章全章总结02模块导航01数学思想方法高考强化与强基计划数学思想方法一、方程思想例1设函数f(x)＝a3x3－32x2＋(a＋1)x＋1，其中a为实数．(1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)若不等式f′(x)>x2－x－a＋1对任意a∈(0，＋∞)都成立，求实数x的取值范围．【解】(1)f′(x)＝ax2－3x＋a＋1，由于函数f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝0，即a－3＋a＋1＝0，解得a＝1.经检验a＝1符合题意，所以a＝1.(2)由题设知，ax2－3x＋a＋1>x2－x－a＋1对任意a∈(0，＋∞)都成立，即a(x2＋2)－x2－2x>0对任意a∈(0，＋∞)都成立．设g(a)＝a(x2＋2)－x2－2x(a∈(0，＋∞)),则对任意x∈R，g(a)为增函数，所以对任意a∈(0，＋∞)，g(a)>0恒成立等价于－x2－2x≥0，解得－2≤x≤0，于是实数x的取值范围是[－2，0]．数学思想方法二、转化与化归思想例2设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求：(1)a的值；(2)函数f(x)的单调区间．数学思想方法【解】(1)f(x)＝x3＋ax2－9x－1，所以f′(x)＝3x2＋2ax－9＝3x＋a32－9－a23，即当x＝－a3时，f′(x)取得最小值－9－a23.因为曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，所以－9－a23＝－12，即a2＝9，解得a＝±3，由题知a<0，所以a＝－3.(2)由(1)知a＝－3，所以f(x)＝x3－3x2－9x－1，则f′(x)＝3(x－3)(x＋1)．令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－1)上单调递增；当x∈(－1，3)时，f′(x)<0，故f(x)在(－1，3)上单调递减；当x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(3，＋∞)上单调递增．因此函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(－1，3)．数学思想方法三、数形结合思想例3已知函数f(x)＝14x4＋13ax3－a2x2＋a4(a>0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝1恰有两个交点，求实数a的取值范围．【解】(1)因为f′(x)＝x3＋ax2－2a2x＝x(x＋2a)(x－a)，令f′(x)＝0得x1＝－2a，x2＝0，x3＝a.由a>0知，f′(x)在f′(x)＝0根的左右的符号如表所示：x(－∞，－2a)－2a(－2a，0)0(0，a)a(a，＋∞)f′(x)－0＋0－0＋f(x)递减极小值递增极大值递减极小值递增所以f(x)的单调递增区间为(－2a，0)和(a，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(－∞，－2a)和(0，a)．数学思想方法(2)由(1)得f(x)极小＝f(－2a)＝－53a4，f(x)极小＝f(...
