11.1　余弦定理.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI,第11章,2022,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课标阐释,1.掌握余弦定理.(数学抽象)2.掌握余弦定理的证明过程.(逻辑推理)3.能够利用余弦定理解决有关问题.(数学运算),思维脉络,课前篇 自主预习,【激趣诱思】隧道工程的设计,经常要测算山脚的长度,工程技术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B,C的距离,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角,那么如何求出山脚的长度BC呢(如图)?显然,用以前所学知识很难解决这个问题,为此我们来学习一种新的解决办法余弦定理.,【知识梳理】,余弦定理1.文字语言:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.2.符号语言:(1)在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C.该公式形式侧重求边,该公式形式侧重求角,3.三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形.名师点析 应用余弦定理解三角形的类型(1)已知两边及其夹角求第三边及其他两角.(2)已知三边求三角.,微练习(1)在ABC中,若AB=2,AC=3,A=60,则BC=.(2)已知ABC是等腰三角形,且a=c=5,B=120,则b=.,课堂篇 探究学习,分析(1)已知两边及其夹角,可直接利用余弦定理求出第三条边.(2)已知两边及一边的对角,可利用余弦定理列方程求解.,要点笔记 已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以直接用余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边.,例2(1)在ABC中,若a2+b2+ab=c2,则C=;分析(1)根据已知条件结合余弦定理的变形求解.(2)先由三边的比值设出三边的长度,再利用余弦定理的变形求解.,反思感悟 已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理求出一个角的余弦值,从而求出第一个角;再利用余弦定理求出第二个角的余弦值,从而求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.,例3(1)在ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cos Asin B=sin C,试判断该三角形的形状;(2)在ABC中,若acos B+acos C=b+c,试判断该三角形的形状.分析(1)利用余弦定理及已知求出角C,再由三角恒等变换确定角A与角B的关系,进而判断三角形形状.(2)利用余弦定理将角转化为边,通过代数变形判断三角形的形状.,解(1)A+B+C=180,sin C=sin(A+B).2cos Asin B=sin C,2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,sin Acos B-cos Asin B=0,sin(A-B)=0.0A180,0B180,-180A-B180,A-B=0,即A=B.又(a+b+c)(a+b-c)=3ab,a2+b2-c2=ab,cos C=.0C180,C=60,ABC为等边三角形.,反思感悟 三角形形状的判断方法(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.(2)判断三角形的形状时,经常用到以下结论:ABC为直角三角形a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.ABC为锐角三角形a2+b2c2,且b2+c2a2,且c2+a2b2.ABC为钝角三角形a2+b2c2或b2+c2a2或c2+a2b2.若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B=.,变式训练2在ABC中,若c2=bccos A+cacos B+abcos C,则ABC是三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)答案 直角,余弦定理的另外两种证法证法一(几何法)按照三角形的分类,分三种情形证明.(1)在RtABC中,如图,满足勾股定理:c2=a2+b2,因为cos C=0,所以c2=a2+b2-2abcos C;因为cos B=,所以b2=a2+c2-2accos B;因为cos A=,所以a2=b2+c2-2bccos A.,图,(2)在锐角三角形ABC中,如图,作CDAB于点D,有CD=asin B,BD=acos B,AD=AB-BD=c-acos B,b2=CD2+AD2=(asin B)2+(c-acos B)2=a2+c2-2accos B;同理可证:c2=a2+b2-2abcos C,a2=b2+c2-2bccos A.,图,(3)在钝角三角形ABC中,如图,作CDAB,交AB的延长线于点D,则CD=asinCBD=asinABC,BD=acosCBD=-acosABC,AD=AB+BD=c-acosABC,b2=CD2+AD2=(asinABC)2+(c-acosABC)2=a2+c2-2accosABC.同理可证:c2=a2+b2-2abcosACB,a2=b2+c2-2bccos A.综上所述,在任意的三角形中,余弦定理总是成立.,图,证法二(解析法)对于任意一个ABC,建立平面直角坐标系如图所示,则A(bcosACB,bsinACB),B(a,0).根据两点间的距离公式,有:c2=|AB|2=(bcosACB-a)2+(bsinACB)2=a2+b2-2abcosACB,即c2=a2+b2-2abcosACB,同理可证:a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accosABC.,图,答案 A,答案 C,3.已知ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则以下为钝角三角形的是()A.a=3,b=3,c=4B.a=4,b=5,c=6C.a=4,b=6,c=7D.a=3,b=3,c=5答案 D,4.在ABC中,若(a+b)2-c2=4,且C=60,则ab的值等于.解析 由(a+b)2-c2=4,得a2+b2-c2+2ab=4.因为C=60,所以由余弦定理,得a2+b2-c2=2abcos C=2abcos 60=ab,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,