高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI11.1余弦定理第11章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.掌握余弦定理.(数学抽象)2.掌握余弦定理的证明过程.(逻辑推理)3.能够利用余弦定理解决有关问题.(数学运算)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】隧道工程的设计,经常要测算山脚的长度,工程技术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B,C的距离,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角,那么如何求出山脚的长度BC呢(如图)?显然,用以前所学知识很难解决这个问题,为此我们来学习一种新的解决办法——余弦定理.【知识梳理】余弦定理1.文字语言:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.2.符号语言:(1)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.该公式形式侧重求边(2)余弦定理也可以写成:在△ABC中,cosA=b2+c2-a22bc,cosB=c2+a2-b22ca,cosC=a2+b2-c22ab.该公式形式侧重求角3.三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形.名师点析应用余弦定理解三角形的类型(1)已知两边及其夹角求第三边及其他两角.(2)已知三边求三角.微练习(1)在△ABC中,若AB=2,AC=3,A=60°,则BC=.(2)已知△ABC是等腰三角形,且a=c=5,B=120°,则b=.(3)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=ξ7,c=ξ3,则B=.(4)在△ABC中,B=60°,AB=3,AC=ξ7,则BC的长为.答案(1)ξ7(2)5ξ3(3)5𝜋6(4)1或2解析(1)由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=22+32-2×2×3cos60°=7,所以BC=ξ7.(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=52+52-2×5×5cos120°=75,所以b=5ξ3.(3)由余弦定理,得cosB=a2+c2-b22ac=1+3-72ξ3=-ξ32. 0
