高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2.8函数与方程第二章2022内容索引0102必备知识预案自诊关键能力学案突破必备知识预案自诊【知识梳理】1.函数的零点(1)定义:一般地,如果函数y=f(x)在处的函数值等于零,即,则称为函数y=f(x)的零点.(2)函数零点的等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与有交点⇔函数y=f(x)有.(3)α是函数f(x)零点的充分必要条件是是函数图像与x轴的公共点.实数αf(α)=0αx轴零点(α,0)2.二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系一般地,由一元二次方程解集的情况可知,对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0):(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0的解集中有两个元素x1,x2,且x1,x2是f(x)的两个零点,f(x)的图像与x轴有两个公共点(x1,0),(x2,0);(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程ax2+bx+c=0的解集中只有一个元素x0,且x0是f(x)唯一的零点,f(x)的图像与x轴有一个公共点;(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程ax2+bx+c=0没有实数根,此时f(x)无零点,f(x)的图像与x轴没有公共点.3.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的图像是,并且(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中,即∃x0∈(a,b),f(x0)=0.连续不断的f(a)f(b)<0至少有一个零点4.用二分法求函数零点近似值的步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,且f(a)f(b)<0),给定近似的精确度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下:第一步:检查|b-a|<2ε是否成立,如果成立,取x1=𝑎+𝑏2,计算结束;如果不成立,转到第二步.第二步:计算区间[a,b]的中点𝑎+𝑏2对应的函数值,若f(𝑎+𝑏2)=0,取x1=𝑎+𝑏2,计算结束;若f(𝑎+𝑏2)≠0,转到第三步.第三步:若f(a)f(𝑎+𝑏2)<0,将𝑎+𝑏2的值赋给b(用𝑎+𝑏2→b表示,下同),回到第一步;否则必有f(𝑎+𝑏2)f(b)<0,将𝑎+𝑏2的值赋给a,回到第一步.常用结论1.f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图像连续不断,则f(a)f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点.【考点自诊】1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).()(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.()(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.()(4)已知函数f(x)在(a,b)内图像连续且单调,若f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.()(5)函数y=2sinx-1的零点...
