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第三节空间点、直线、平面之间的位置关系,必备知识基础落实,关键能力考点突破,最新考纲1理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3掌握空间两条直线的位置关系(相交、平行、异面),考向预测考情分析：以常见的空间几何体为载体，考查点、直线、平面的位置关系，以及异面直线所成角、线面角等，与平行关系、垂直关系等相结合考查是高考的热点学科素养：通过空间位置关系的判定考查直观想象、逻辑推理的核心素养,必备知识基础落实,一、必记3个知识点1平面的基本性质,过不在一条直线上,一条,2.空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类：,相交,平行,任何一个平面,(2)平行公理(公理4)和等角定理：平行公理：平行于同一条直线的两条直线_等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_(3)异面直线所成的角：定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的_叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：_,平行,相等或互补,锐角(或直角),，,3空间直线与平面、平面与平面的位置关系,aA,a,a,l,二、必明3个常用结论1公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面2异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线3唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直,三、必练4类基础题(一)判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(3)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于A点，并记作A.()(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面(),(二)教材改编2必修2P43练习T1改编下列说法正确的个数为()梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则两个平面重合A0B1 C2 D3,答案：C,解析：中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面可能相交，正确,3必修2P45例2改编已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A空间四边形 B矩形C菱形 D正方形,答案：B,解析：如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形E，F分别为AB，BC的中点，EFAC.又FGBD，EFG或其补角为AC与BD所成的角而AC与BD所成的角为90，EFG90，故四边形EFGH为矩形,(三)易错易混4(异面直线的概念不清)下列关于异面直线的说法正确的是_(填序号)若，b，则a与b是异面直线；若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；若a，b不同在平面内，则a与b异面；若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面,解析：中的两直线可能平行、相交或异面，由异面直线的定义可知正确,5(忽视直线在平面内)已知直线a，b和平面，若ab，且直线b在平面内，则直线a与平面的位置关系是_,a或a,解析：如图，直线a，b和平面，若ab，且直线b在平面内，则a与的位置关系是a或a.,(四)走进高考62021全国乙卷在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A 2 B 3 C 4 D 6,答案：D,解析：方法一如图，连接C1P，因为ABCDA1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1PB1D1，又C1PBB1，所以C1P平面B1BP.又BP平面B1BP，所以有C1PBP.连接BC1，则AD1BC1，所以PBC1为直线PB与AD1所成的角设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则在直角三角形C1PB中，C1P 1 2 B1D1 2，BC12 2，sin PBC1 PC 1 BC 1 1 2，所以PBC1 6.,方法二以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则B(0，0，2)，P(1，1，0)，D1(2，2，0)，A(0，2，2)，PB 1，1，2，AD 1(2，0，2)设直线PB与AD1所成的角为，则cos PB A 1 PB A 1 6 6 8 3 2.因为 0，2，所以 6.,关键能力考点突破,考点一平面的基本性质基础性例1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.证明：(1)B，D，F，E四点共面；(2)若直线A1C与平面BDEF的交点为R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线共点,证明：(1)连接B1D1(图略)EF是D1B1C1的中位线，EFB1D1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1BD，EFBD.EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，设平面A1ACC1为，平面BDEF为.QA1C1，Q.又QEF，Q，则Q是与的公共点，同理，P是与的公共点，PQ.又A1CR，RA1C，R，且R，则RPQ，故P，Q，R三点共线(3)EFBD，且EFBD，DE与BF一定相交，设交点为M.BF平面BCC1B1，DE平面DCC1D1，平面BCC1B1平面DCC1D1CC1，MCC1.DE，BF，CC1三线共点,反思感悟共面、共线、共点问题的证明(1)证明点线共面问题的两种方法纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；辅助平面法：先证有关点、线确定平面，再证其余点、线，确定平面，最后证明平面，重合(2)证明点共线问题的两种方法先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在一条特定直线上(3)证明多线共点问题的步骤先证其中两条直线交于一点；再证交点在第三条直线上证交点在第三条直线上时，依据是第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，即利用公理3证明,【对点训练】如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；,证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，E、F分别是AB和AA1的中点，FEA1B且EF 1 2 A1B.A1D1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C，FED1C，EF与CD1可确定一个平面，即E，C，D1，F四点共面,(2)CE，D1F，DA三线共点,证明：(2)由(1)知EFCD1，且EF 1 2 CD 1，四边形CD1FE是梯形，直线CE与D1F必相交，设交点为P，则PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1，P平面ABCD且P平面A1ADD1，又平面ABCD平面A1ADD1AD，PAD，CE，D1F，DA三线共点,考点二空间两直线的位置关系综合性例2(1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则()Aac Ba，c是异面直线Ca，c相交 Da，c平行或相交或异面,答案：(1)D,解析：(1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，那么a，c可以平行，可以相交，可以异面,(2)2019全国卷如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线,答案：B,解析：(2)取CD的中点O，连接ON，EO，因为ECD为正三角形，所以EOCD，又平面ECD平面ABCD，平面ECD平面ABCDCD，所以EO平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO 3，ON1，所以EN2EO2ON24，得EN2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP 3 2，CP 3 2，所以BM2MP2BP2(3 2)2(3 2)2227，得BM 7，所以BMEN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B.,反思感悟,【对点训练】1若平面和直线a，b满足aA，b，则a与b的位置关系是()A相交 B平行C异面 D相交或异面,答案：D,解析：当Ab时，a与b相交，当Ab时，a与b异面,2在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号),解析：图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N三点共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面，所以图中GH与MN异面,考点三异面直线所成的角综合性例3(1)2022广西南宁三中高三模拟在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于()A 6 2 B 6 3 C 3 3 D 2 2,答案：B,解析：(1)取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，如图所示，E为CC1的中点，EFBC1AD1，故OEF即为异面直线OE与AD1所成角，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则在OEF中，EF 2，OE 3，故cos OEF EF OE 6 3.,(2)四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，若BD，AC所成的角为60，且BDAC1，则EF的长为_,或,解析：(2)如图，取BC的中点O，连接OE，OF，因为E，F分别是AB，CD的中点，所以OEAC，OFBD，所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60，所以EOF60或EOF120，当EOF60时，EFOEOF 1 2.当EOF120时，取EF的中点M，连接OM，则OMEF，EF2EM2 3 4 3 2.,反思感悟用几何法求异面直线所成角的具体步骤：,【对点训练】1直三棱柱ABC-A1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45C60 D90,答案：C,解析：如图，将三棱柱补成一个正方体，由正方体的性质可知，AC1BD1，所以直线BA1与AC1所成的角为A1BD1.又易知A1BD1为正三角形，所以A1BD60，即BA1与AC1成60的角,22022黑龙江哈尔滨市哈师大附中高三月考三棱锥P-ABC所有棱长都为2，E，F分别为PC，AB的中点，则异面直线BE，PF所成角的余弦值为()A 3 5 B 4 5 C 1 3 D 2 3,答案：D,解析：连接CF，取CF的中点O，连接EO，BO，E是PC的中点，EOPF，BEO(或其补角)是异面直线BE与PF所成的角设三棱锥PABC的所有棱长为2，则PFBECF 2 2 1 3，则EO 1 2 PF 3 2 FO 1 2 CF，则BO BF 2+FO 2 1+3 4 7 2，在BEO中，由余弦定理得cos BEO BE 2+EO 2 BO 2 2BEEO 3+3 4 7 4 2 3 3 2 2 3，异面直线BE与PF所成角的余弦值为 2 3.,