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第2课时基本不等式的应用题型一利用基本不等式求参数——自主完成1．设x，y∈R＋，(x＋y)1x＋1y≥a恒成立，则实数a的最大值为()A．2B．4C．8D．16解析：因为x，y∈R＋，所以(x＋y)1x＋1y＝2＋xy＋yx≥2＋2xy·yx＝4，当且仅当x＝y＝1时等号成立，而x，y∈R＋，(x＋y)1x＋1y≥a恒成立，故a≤4，也即a的最大值为4.答案：B2．已知两个正数x，y满足x＋y＝4，则使不等式1x＋4y≥m恒成立的实数m的范围是________．m≤94解析： x>0，y>0，x＋y＝4，∴1x＋4y＝1x＋4y·14(x＋y)＝145＋yx＋4xy≥145＋2yx·4xy＝14(5＋4)＝94.当yx＝4xy时取等号，∴1x＋4y的最小值是94.∴m≤94.状元随笔运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常出现，在解决此类问题时，要注意发掘各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题．方法归纳恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax.将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式．题型二利用基本不等式证明不等式——师生共研例1已知a，b，c>0，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.注意分析不等式的结构特征，即证a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c.证明： a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0，∴a2b＋b≥2a2b·b＝2a.当且仅当a2b＝b时等号成立．b2c＋c≥2b2c·c＝2b.当且仅当b2c＝c时等号成立．c2a＋a≥2c2a·a＝2c，当且仅当c2a＝a时等号成立．相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋2b＋2c，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.方法归纳(1)在利用a＋b≥2ab时，一定要注意是否满足条件a>0，b>0.(2)在利用基本不等式a＋b≥2ab或a＋b2≥ab(a>0，b>0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．跟踪训练1已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.证明： a＋b＋c＝1，∴(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)．又a，b，c都是正实数，∴a＋b2≥ab>0，b＋c2≥bc>0，a＋c2≥ac>0，∴a＋bb＋ca＋c8≥abc，∴(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．题型三利用基本不等式解决实际问题——师生共研例2如图，某学校准备修建一个面积为600平方米的矩形活动场地(图中ABCD)的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFDC为正方形，设AB＝x米，已知围墙(包括EF)...