线性代数（五）克拉默法则1.法则：如果线性方程组的系数行列式不等于零，即，那么该方程组有唯一解。其中是用非齐次项代替中第列元素后所得的行列式。注意克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等的情形。定理4如果线性方程组的系数行列式，则它一定有解，且解是唯一的。逆否定理如果线性方程组无解或有多个不同的解，则它的系数行列式必为零。（三）线性方程组—线性方程组的解线性方程组如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容的。定理2元齐次线性方程组（1）有唯一解，零解；（2）有非零解。定理3元非齐次线性方程组（1）无解的充分必要条件是；（2）有唯一解的充分必要条件是；（3）有无穷多解的充分必要条件是。基础解系齐次线性方程组的通解具有形式(为任意常数)，称通解式中向量构成该齐次线性方程组的基础解系。线性方程组的解法齐次线性方程组：将系数矩阵化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解.。若有非零解，化成行最简形矩阵，写出其解；齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为，齐次线性方程组的通解可以表示成基础解系的“线性组合”。非齐次线性方程组：将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解。若有解，化成行最简形矩阵，写出其解；在求解过程中，一般取行最简形矩阵中非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由基。非齐次线性方程组解的通解具有形式(为任意常数)，不带参数部分是非齐次方程组的一个解；带参数部分的两个向量构成对应齐次方程的基础解系。（三）线性方程组解的结构1.解齐次线性方程组：{𝑥1+2𝑥2+𝑥3−𝑥4＝03𝑥1+6𝑥2−𝑥3−3𝑥4＝05𝑥1+10𝑥2+𝑥3−5𝑥4＝01.解：A=(12136−15101−1−3−5)𝑟2+(−3)𝑟1；𝑟3+(−5)𝑟1→(12100−400−4−100)𝑟3+(−1)𝑟2；𝑟2÷(−4)→(121001000−100)𝑟1+(−1)𝑟2→(120001000−100)R(A)=2，基础解系中含有4-2=2个解向量，同解方程组为{𝑥1=−2𝑥2+𝑥4𝑥3=0令𝑥2=1，𝑥4=0，则𝑥1=−2所以𝜉1=(−2100)，令𝑥2=0，𝑥4=1，则𝑥1=1所以𝜉2=(1001)，所以方程的基础解系：(𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4)=𝑐1(−2100)+𝑐2(1001)2.解非齐次线性方程组：{𝑥1+𝑥2−3𝑥3−𝑥4＝13𝑥1−𝑥2−3𝑥3+4𝑥4＝4𝑥1+5𝑥2−9𝑥3−8𝑥4＝02.解：对增广矩阵B进行初等变换B=(11−33−1−315−9−1144−80)𝑟2+(−3)𝑟1；𝑟3+(−1)𝑟1→(11−30−4604−6−1171−7−1)𝑟3+(−1)𝑟2；𝑟2÷(−4)→(11−301−32000−11−74−1400)𝑟1+(−1)𝑟2→(10−3201−320003454−74−1400)R(A)=R(A,b)=2，方程组有...
