投稿邮箱院sxjk@vip.163.com数学教学通讯2023年10月（下旬）<作者简介院汤鸿（1986—），硕士研究生，中小学一级教师，从事高中数学教学与研究工作.构造函数证明不等式的方法探究汤鸿江苏省张家港市塘桥高级中学215611咱摘要暂构造函数是证明不等式的重要方法袁具体使用时有多种技巧.文章探究构造函数证明不等式的五种方法袁并结合教学实践开展教学思考.［关键词］构造函数曰不等式曰思想方法曰教学思考函数与导数是高中数学的重难点知识袁也是高考的考查热点.构造函数证明不等式的基本策略是院先分析不等式的特征袁构造对应函数袁将不等式问题转化为函数问题袁再利用导数知识分析函数性质袁证明不等式.因此袁合理构造函数是证明不等式的关键袁构造函数时常涉及变形转化.下文具体探究变形转化尧构造函数的方法.构造函数证明不等式的方法1.证明f渊x冤>g渊x冤转化为证明f渊x冤原g渊x冤>0证明不等式f渊x冤>g渊x冤袁可采用野作差变形袁再构造函数冶这个方法袁即通过野作差冶变形使得不等号的一侧为0袁再根据不等号另一侧部分的情况构造函数袁然后利用导数知识研究函数性质袁证明不等式.例1已知函数f渊x冤=axlnx渊a屹0冤.渊1冤讨论函数f渊x冤的单调性曰渊2冤当a=1时袁证明院f渊x冤0时袁f渊x冤在0袁1e上单调递减袁在1e袁+肄上单调递增曰当a<0时袁f渊x冤在0袁1e上单调递增袁在1e袁+肄上单调递减.渊2冤该问可通过野作差变形袁再构造函数冶这个方法求解袁具体为院先将f渊x冤>g渊x冤转化为f渊x冤原g渊x冤>0袁再根据不等号左侧部分的情况构造函数.由题意可知袁要证明xlnx0袁故不等式xlnx1时袁要证明xlnx1冤袁则h忆渊x冤=lnx原ex原cosx+1袁h义渊x冤=1x原ex+sinx.分析可知袁h忆渊x冤在渊1袁+肄冤上单调递减袁则h忆渊x冤
