·基础精讲·关于利用辅助圆求解线段最值的探究谢柏林(安徽省无为第三中学城东分校238300)【摘要】利用辅助圆可求解线段最值,解析时要充分解析问题条件,提取或构造辅助圆,再结合圆的性质确定最值情形.本文结合实例开展探究解析,解析辅助圆模型,探索构建思路.【关键词】辅助圆;最值;距离;定长利用辅助圆可以求解线段最值,利用圆的性质来解析线段关系,确定最值情形.常用的模型有三种:点或线到圆上点的距离模型、动点到定点距离为定长的模型、定长对直角的模型,下面结合实例具体探究.模型1点或线到圆上点的距离点或线到圆上点的距离模型,即模型中涉及固定圆,求圆外动点或线到圆上点的距离的最值,具体求解时需要利用“两点之间距离最短”原理,构建过圆心的直线,进而确定最值情形.例1如图1-(a),在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,☉A、☉B的半径分别为2和1,点P、E、F分别是边CD、☉A和☉B上的动点,则PE+PF的最小值是.图1分析利用菱形的性质,以及辅助圆的性质,可得出P与D重合时PE+PF的最小值,进而求出即可.解如图1-(b),作A点关于直线DC的对称点A',连接AA',延长CD交AA'于点N,连接BD,DA'.已知四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=3,则AB=AD=CD=BC=3,∠BAD=∠BCD=60°,所以△ADB和△BCD为等边三角形.进一步分析可知A',D,B在同一直线上,根据题意可知,当P与D重合,点E在AD上,F在BD上时,PE+PF的值最小.因为BD=AB=AD=3,则☉A、☉B的半径分别为2和1,可求得PE=AD-AE=1,PF=BD-BF=2,所以PE+PF的最小值为3.评析上述求线段和最值问题时,利用辅助圆中的动点或线到圆上点的最短距离过圆心来构建模型.模型2动点到定点距离为定长部分线段最值问题中,虽未给出几何圆,但动点的轨迹为隐圆,如动点到定点的距离为定长,此时该动点的轨迹就为圆,此时就可以直接构造辅助圆,再利用圆的特性求最值.例2如图2-(a)所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠A=60°.点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是.图2分析本题目求点P到AB距离的最小值,涉·2·《数理天地》初中版基础精讲2023年11月上及三角形折叠,根据翻折特性可知PF=CF=2,分析可知点P在以点F为圆心,半径为2的圆上.则可确定点P的轨迹,后续可构造辅助圆,利用圆的性质确定最值情形.解析由题意可知,点P在以F为圆心,半径为2的圆上.延长FP交AB于点D,如图2-(b)所示.分析可知,当FD⊥AB时,P点到AB的距离最短,即DP长.在Rt△ABC中,∠B=30°,∠C=90°,AC=6,所以AB=2AC=12,BC=AB2-AC2=63,由题意AF...
