《数学之友》2023年第15期构造三角形解梯形问题解题探索一一道世界团体锦标赛试题的解法探究李江（银川市第十六中学，宁夏银川，750000）摘要：对第7届世界团体锦标赛少年组团体赛第17题的解法进行了深入研究，通过构造三角形将梯形问题转化为三角形问题.利用三角形的性质得到了多种解法.一是借助15°角构造其中一角为30°角的直角三角形,再运用勾股定理求解；二是借助15°角和45°角，或120°角构造等边三角形，然后利用三角形的性质求解；三是构造相似三角形，运用勾股定理和相似三角形性质求解.通过“一题多解”，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力，有利用于提升学生的数学核心素养。关键词：梯形；构造；转化；三角形线段DE上取一点F,使BF=DF.1试题呈现A题目：梯形是初中数学中常见的几何图形,与梯形有关的几何计算问题是中考或竞赛试题中常见的题型.如图1,在梯形ABCD中，ZA=乙ADC=90°，ZABD=15°ZC=45,CD=1,求梯形中位线的长.AD2试题分析本题是一道以梯形ABCD为基本图形的几何计算问题,求解本题的关键求得线段AB的长.易知AB/CD,所以ZBDC=ZABD=15°.△ABD是含有15°角的直角三角形，△BCD的三个内角分别是15°,45°，120°.根据图形特征易发现，借助15°角或120°角可构造含30°角的直角三角形；借助15°角和45°角,或120°角可构造等边三角形；相似三角形的性质也是求解线段长度问题的基本工具，可考虑构造相似三角形.由此可以看出求解本题的基本思路：构造三角形,将梯形问题转化为三角形问题，然后借助直角三角形、等边三角形、相似三角形的性质求解.3解法探究思路1：借助15°角或120°角构造其中一角为30°角的直角三角形,利用直角三角形的性质求解.解法1：如图2,过点B作BE工CD，垂足为E.在BDF图2因为四边形ABCD是梯形,所以AB//CD,所以BZBDC=LABD=15°因为BF=DF,所以ZDBF=ZBDC=15°,所以CZBFE=30°.图1因为ZC=45°,ZBEC=90°,所以ZCBE=ZC=45°,所以BE=CE.令BE=x,则CE=x,DF=BF=2BE=2x,EF=V3x.由DF+EF+CE=CD=1,得2α+/3×+x=1,解得133-/3x=3+/3所以AB=DE=1-x=1所以梯形ABCD的中位线长为23+/39+/326评注：这种解法借助15°角构造出含30°角的直角三角形，将已知线段CD分割为三条线段.由直角三角形的性质易知，这三条线段的长均与线段BE的长有关，即这三条线段的长均能用含有线段BE长度的代数式表示,从而通过列一元一次方程解决问题.这种解法通俗易懂，求解过程运算量小,是一种简捷2023.15_71E63-/33+/3661(AB+CD)=12C《数学之友》明了...
