关于反比例函数k的几何模型探究王涛涛(山东省东营市胜利第一初级中学257000)【摘要】反比例函数k的几何模型众多,探究模型特征、归纳总结结论对于解题有一定的帮助.本文举例探究解读其中的“一点一垂线”模型、“两点一垂线”模型、“两点一平行”模型,并结合实例进行强化应用,与读者交流.【关键词】初中数学;反比例函数;几何模型反比例函数是初中数学的重要知识内容,实际考查时常涉及众多的函数模型.解读模型,利用对应结论来分析推导,可以极大地降低思维难度,简化解题模型.下面举例探究反比例函数k的三种几何模型.模型1“一点一垂线”模型“一点一垂线”模型,已知反比例函数图象上的一点以及关于坐标轴的垂线,则与另一坐标轴上一点(含原点)围成了三角形,此时该三角形的面积就等于k2.例1如图1所示,点A、B在反比例函数y=kx的图象上,过点A、B作x轴的垂线,垂足分别是M、N,射线AB交x轴于点C,若OM=MN=NC,四边形AMNB的面积是4,则k的值为.图1分析本题目中点A和B均位于反比例函数的图象上,且过点作了x轴的垂线,则其中隐含了反比例函数的“一点一线垂线”模型,即△AOM,可直接求得面积.已知四边形AMNB的面积,则可以采用面积割补转化的方法,构建关于三角形面积的方程,再解方程求k值.解设OM=a,则OM=MN=NC=a.因为点A、B在反比例函数y=kx的图象上,且AM⊥OC、BN⊥OC,可直接推得AM=-ka,BN=-k2a.利用面积割补法构建面积方程,则有S△AOC=S△AOM+S四边形AMNB+S△BNC,结合“一点一垂线”模型结论,并代入线段长,可得-12×3a×ka=-12k+4-12×a×k2a,可解得k=-163,即k的值为-163.评析上述求解反比例函数k的值时利用了“一点一垂线”模型,直接利用三角形的面积结论进行简化求解.具体求解时涉及了两大关键点:一是确定模型中的“一点”和“一垂线”;二是结合面积割补模型来构建面积方程.模型2“两点一垂线”模型“两点一垂线”模型,模型中涉及了反比例函数与正比例函数,两函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成了三角形,该三角形的面积可以表示为k.另外,若直线不为正比例函数,则可以利用坐标轴的面积分割建模,分割为有共同底边的,顶点分别为两交点的三角形.例2如图2所示,已知一次函数y=x+1与反比例函数y=kx的图象相交于点A(m,2)和B,分别连接OA,OB,试回答下列问题.(1)求这个反比例函数的表达式;·6·《数理天地》初中版基础精讲2023年11月上(2)求△AOB的面积.图2分析本题目中涉及了一次函数与反比例函数的图象,且两函数图象相交于两点,分析可知其中隐含了“两点一垂线”模...
