8-432023年第8期数学教学构造离散函数证明组合恒等式唐保祥（天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水741001)表示组合数之间关系的恒等式称为组合恒等式，它们从一个侧面反映出整数的一些基本性质,其中有不少重要的组合恒等式已成为研究数论、级数和其他数学分支的基础.组合恒等式也是组合数学理论的重要组成部分。组合恒等式的证明往往有较强的技巧[1-3].本文通过构造特殊离散函数,用两种不同的思考方法计算同一类特殊离散函数的个数，从而得到四个组合恒等式.先给出两个预备结论作为基础1子预备问题问题1已知集合A=（a1，a2，，amB={b1，b2，…，b,}，集合A到集合B的所有不同映射的个数为n"。解：对任意一个映射f:A→B,每个(a,)在B中选择像的方法都有n种（i=1，2，，m），因为不同的像对应不同的映射，所以集合A到集合B的不同映射共有n个。问题2设集合A={α1，x2，，xl，B={y1,y2，"，yml，n≥m≥1,由A到B的满射的个数为：m-1Z(-1)ici(m-i)".i=0解：设A,是A到B的y；没有原像的所有映射的集合，i=1，2，，m.由容斥原理和预备问题1的结论可知，由A到B的满射的个数为：IA,nA,n...nAmI214.1+Zm=m"CIA;nA,Ii=11≤i
