关于有限循环群的一个注记蒋琴会1,于云清*2（1.南京邮电大学理学院,江苏南京210023；2.山东潍坊第七中学,山东潍坊261000）摘要:最近史江涛给出了一个循环群的判定,并给出了初等简洁的证明.对此结论给出另一个初等简洁的证明,并应用此方法对循环群的另一个判定给出一个初等简洁的证明.关键词:有限群;循环群;最高阶元中图分类号:O152.1文献标识码:A文章编号:1674-5248（2023）05-0026-02引言我们所涉及的群均指有限群.循环子群是有限群中一类非常重要的子群,它是可以由一个元素生成的特殊的交换子群.文献［1］定理6.8指出:设G是n阶群,如果（n,Φ（n））=1,则G循环,这里Φ（n）是正整数n的欧拉函数.文献［2,3］习题1.4.3有下述结论:设G是有限群,假设|{x∈G|xn=1}|≤n,∀n∈N,那么G是循环群.在［1］中,史江涛等证明了下面的定理1:定理1设G为有限群,若G的每个循环子群H都满足:对任意x∈G\H都有o（x）不整除｜H｜,则G是循环群.本文我们给出它的另一个较为初等、简洁的证明.应用我们的方法我们还可以证明定理2:定理2设G为有限群,对于任意正整数n‖G｜,G只有一个n阶子群,则G循环.由定理2,我们可以证明:定理3设G是有限群,如果对于任意的正整数n‖G｜有｜{x∈G｜xn=1}｜=n成立,则G是循环群.1定理1的证明证明任取一｜G｜的素因子P,设P为G的一个SylowP-子群.第一步.P循环.令x为P的一个最高阶元.假设P非循环,则P＞〈x〉.取y∈P\〈x〉,由假设o（y）不整除｜〈x〉｜=o（x）.由于x是最高阶元,故o（y）整除o（x）,矛盾.因此P=〈x〉是一个循环群.第二步.P正规于G.对于任意的g∈G,我们证明g-1Pg=P.假设存在d∈G使得d-1Pd≠P.令P=〈x〉.收稿日期：2023-05-16基金项目：国家自然科学基金（12071181）；山东省自然基金（ZR2020MA003）作者简介：蒋琴会（1983—）,女,江苏泗阳人.副教授,博士,主要从事有限群及表示研究.*通讯联系人,e-mail:syjqh2001@163.com.第33卷第5期Vol.33No.5四川文理学院学报SichuanUniversityofArtsandScienceJournal2023年9月Sep.2023··26则d-1xd∈G\P.由假设o（d-1xd）=o（x）不整除｜P｜=｜〈x〉｜=o（x）,矛盾.由正规子群的定义,P正规于G.第三步.G循环.若G是一个P群,则G循环.下设G不是一个P群.设Pi,i=1,2,...,n是｜G｜的全部素因子,Pi是G的一个SylowPi-子群.设Pi=〈xi〉.易知,Pi⌒Pj=1,i≠j.由于Pi是G的正规子群,我们有xi-1xj-1xixj∈Pi⌒Pj=1.所以,xixj=xjxi.由i,j的任意性,我们有G=P1...Pn=〈x1...xn〉.因此G是一个循环群.2定理2的证明证明...
