关于抽象函数的对称性、周期性的几点思考与建议———以2021、2022年的高考题为例杨青英张少霞(新疆生产建设兵团第三师四十一团学校84400)【摘要】抽象函数一直是高考的高频考点,最常见的题型是将函数的周期性、对称性结合在一起考查.相比其他题型,学生面对抽象函数时更加难以理解,抓不住关键信息,找不到解题思路.本文拟从以上问题出发,通过梳理知识点,分析学生在解抽象函数中存在的问题,提出对应的解题方法,以2021、2022年的高考题为例,进行分析,希望对学生的解题能力有所帮助.【关键词】高中数学;抽象函数;对称性抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数,如f(m+n)=f(m)·f(n)等表达式.正是因为没有具体的解析式,所以学生通过求函数解析式来求解函数的这种思路便不再适用于抽象函数.因此,从抽象函数的性质出发,研究其周期性、对称性的基本特征,结合数学不同知识点之间的关系,系统地掌握数学知识,学生的解题速度和质量都会获得提升.1抽象函数的对称性、周期性的基本解法1.1对称性对称性包括轴对称和中心对称,一般与函数的奇偶性联系在一起.当函数为偶函数时,f(x)=f(-x),对称轴为x=0,并且如果一个函数满足f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的对称轴为x=a,通过观察,这两个函数数值相等,而且括号中的x为一正一负,可知对称轴为正负对称(轴)的平均;当函数为奇函数时,f(x)=-f(-x),其对称中心为(0,0),或者一个函数满足f(a+x)=-f(a-x),则这个函数的对称中心为(a,0),可得这个函数的对称中心的横坐标为两横坐标之和的平均数.1.2周期性周期函数是指对于函数如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,此时我们就把这个叫周期函数,不为零的常数T就叫做函数的周期[1],常用的三种求函数周期性的方法是:(1)函数f(x)关于直线x=a,x=b对称,则T=2|b-a|;(2)函数f(x)关于直线x=a和(b,0)对称,则T=4|b-a|;(3)函数f(x)关于点(a,0)和(b,0)对称,则T=2|b-a|.掌握函数的周期性可以使学生便捷快速地进行解题.求解函数的周期一般与函数的对称性有关,并且函数的对称性可以转化为函数的周期性,2影响学生解题的因素2.1思维定势的影响学生在独立解决问题的过程中,在过去知识经验的影响下,心理常处于一种准备状态,在解决当前问题时有一定的倾向性,从而决定后继活动的趋势[2],也就出现了思维定势.学生在解抽象函数时,先前所积累的解题经验对学生印象深刻,学生会下意识地用已有数学思维去解决抽象函数类题型,使其思...
