第一章测评(2).docx

第一章测评 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(每小题5分,共40分) 1.命题“∀x∈N+,a≤x”的否定是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.∀x∈N+,a>x B.∀x∉N+,a>x C.∃x∈N+,a>x D.∃x∉N+,a>x 答案C 2.已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是(　　) A.t>s B.t≥s C.t<s D.t≤s 解析t-s=4b-b2-4=-(b-2)2≤0,故t≤s. 答案D 3.已知集合A={x|x2+x-2≤0},B=xx+1x-2≥0,则A∩(∁RB)=(　　) A.(-1,2) B.(-1,1) C.(-1,2] D.(-1,1] 解析由x2+x-2≤0,得-2≤x≤1.∴A=[-2,1],由x+1x-2≥0,得x≤-1或x>2.∴B=(-∞,-1]∪(2,+∞).则∁RB=(-1,2],∴A∩(∁RB)=(-1,1]. 答案D 4.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},则能使不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax成立的x的集合为(　　) A.{x|0<x<3} B.{x|x<0,或x>3} C.{x|x>3} D.{x|-2<x<1} 解析∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2}, ∴-1和2是方程ax2+bx+c=0的两根且a<0, ∴-ba=-1+2=1,ca=-2, ∴b=-a,c=-2a, 由a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax, 得a(x2+1)-a(x-1)-2a<2ax, 得ax2-3ax<0, ∵a<0,∴x2-3x>0, ∴x<0或x>3, ∴不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为{x|x<0或x>3}. 答案B 5.命题“∀x∈{x|1≤x≤3},有x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　) A.a≥9 B.a≥8 C.a≥10 D.a≤10 解析当该命题是真命题时,只需当1≤x≤3时,a≥(x2)max. 因为1≤x≤3时,y=x2的最大值是9,所以a≥9. 因为a≥9a≥10,a≥10⇒a≥9,所以C符合要求.A为充要条件,B为必要不充分条件,D是既不充分也不必要条件. 答案C 6.某工厂年产量第二年增长率为a,第三年增长率为b,这两年年产量的平均增长率为x,则(　　) A.x≥a+b2 B.x>a+b2 C.x≤a+b2 D.x<a+b2 解析设该工厂原年产量为1,由题意得(1+a)(1+b)=(1+x)2,∴x=(1+a)(1+b)-1≤(1+a)+(1+b)2-1=a+b2,当且仅当1+a=1+b即a=b时取等号. 答案C 7.(2021河南焦作高二期末(理))已知a,b为正实数,且ab-3(a+b)+8=0,则ab的取值范围是(　　) A.[2,4] B.(0,2]∪[4,+∞) C.[4,16] D.(0,4]∪[16,+∞) 解析因为a,b为正实数,则0=ab-3(a+b)+8≤ab-6ab+8,当且仅当a=b时,等号成立, 即(ab-2)(ab-4)≥0, 所以0<ab≤2或ab≥4, 所以0<ab≤4或ab≥16, 故ab的取值范围是(0,4]∪[16,+∞). 故选D. 答案D 8.已知非空集合A,B满足以下两个条件: (1)A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B=⌀; (2)A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素, 则有序集合对(A,B)的个数为(　　) A.10 B.12 C.14 D.16 解析根据条件,A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素.可知 (1)当集合A只有一个元素时,集合B中有5个元素,1∉A且5∉B,此时仅有一种结果A={5},B={1,2,3,4,6}; (2)当集合A有两个元素时,集合B中有4个元素,2∉A且4∉B,此时集合A中必有一个元素为4,集合B中必有一个元素为2,故有如下可能结果: ①A={1,4},B={2,3,5,6};②A={3,4},B={1,2,5,6};③A={5,4},B={1,2,3,6};④A={6,4},B={1,2,3,5}.共计4种可能. (3)可以推测集合A中不可能有3个元素; (4)当集合A中有4个元素时,集合B中有2个元素,此情况与情况(2)相同,只需A,B互换即可.共计4种可能. (5)当集合A中有5个元素时,集合B中有1个元素,此情况与情况(1)相同,只需A,B互换即可.共计1种可能. 综上所述,有序集合对(A,B)的个数为10. 答案A 二、多项选择题(每小题5分,共20分) 9.(2020山东泰安高一期末)对于任意实数a,b,c,d,有以下四个命题,其中为真命题的是(　　) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ac2>bc2,则a>b C.若a>b,则1a<1b D.若a>b,c>d,则a-d>b-c 解析A选项:-3>-5,1>-4,但是-3×1<-5×(-4),A不正确; B选项:因为ac2>bc2成立,则c2>0,那么a>b,B正确; C选项:2>-3,但是12>-13,C不正确; D选项:因为c>d,则-c<-d,又a>b,所以a-d>b-c,D正确. 答案BD 10.(2020山东淄博七中高一月考)下列各结论正确的是(　　) A.“xy>0”是“xy>0”的充要条件 B.x2+9+1x2+9的最小值为2 C.命题“∀x>1,x2-x>0”的否定是“∃x≤1,x2-x≤0” D.“一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)”是“a+b+c=0”的充要条件 解析xy>0⇔xy>0,故A正确; y=x2+9+1x2+9,令t=x2+9≥3, 则y=t+1t,且在区间[3,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而增大,最小值为3+13=103,故B错误; 命题“∀x>1,x2-x>0”的否定是“∃x>1,x2-x≤0”,故C错误; 一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)显然有a+b+c=0,反之亦可,故D正确. 答案AD 11.(2020山东日照高一检测)若“x2+3x-4<0”是“x2-(2k+3)x+k2+3k>0”的充分不必要条件,则实数k可以是(　　) A.-8 B.-5 C.1 D.4 解析由x2+3x-4<0,解得-4<x<1, 令A={x|-4<x<1}. x2-(2k+3)x+k2+3k>0即(x-k)[x-(k+3)]>0,解得x<k,或x>k+3, 令B={x|x<k,或x>k+3}. 由题意知A⫋B,所以k≥1或k+3≤-4, 即k∈(-∞,-7]∪[1,+∞). 答案ACD 12.(2020山东青岛高一质检)当一个非空数集G满足“任意a,b∈G,则a+b,a-b,ab∈G,且b≠0时,ab∈G”时,我们称G就是一个数域,以下关于数域的说法.其中正确的选项有(　　) A.0是任何数域的元素 B.若数域G有非零元素,则2 019∈G C.集合P={x|x=2k,k∈Z}是一个数域 D.任何一个数域的元素个数必为奇数 解析当a=b时,由数域的定义可知,若a,b∈G,则有a-b∈G,即0∈G,故A是真命题; 当a=b≠0时,由数域的定义可知,a,b∈G,则有ab∈G,即1∈G,若1∈G,则1+1=2∈G,则2+1=3∈G,…,则1+2 018=2 019∈G,故B是真命题; 当a=2,b=4时,ab=12∉G,故C是假命题; 由0∈G,当b∈G且b≠0时,则-b∈G,因此只要这个数不为0,就一定成对出现,所以数域的元素个数必为奇数,所以D是真命题. 答案ABD 三、填空题(每小题5分,共20分) 13.(2020江西吉安高一期中)若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素个数为　　　　.  解析A={-1,1},B={0,2}, ∵x∈A,y∈B, ∴x=1或x=-1,y=0或y=2, 则z=x+y的值可能是-1,1,3. 故答案为3. 答案3 14.若集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-x+r=0},A∩B={-1},A∪B={-1,2},则r=　　　,p+q=　　　.  解析由A∩B={-1},知-1∈B, ∴(-1)2-(-1)+r=0,解得r=-2, ∴B={x|x2-x-2=0}={-1,2}, 又A∪B={-1,2},A∩B={-1}, ∴A={x|x2+px+q=0}={-1},即方程x2+px+q=0有两个相同的实数根-1, ∴Δ=p2-4q=0,且(-1)2+p(-1)+q=0, 解得p=2,q=1.所以p+q=3. 答案-2　3 15.某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24 000元,为了减小耕地损失,决定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少52t万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元,t变动的范围是　　　　　.  解析由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为20-52t万亩, 则税收收入为20-52t×24 000×t%. 由题意20-52t×24 000×t%≥9 000,整理得t2-8t+15≤0,解得3≤t≤5. ∴当耕地占用税率为3%~5%时,既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9 000万元. ∴t的范围是[3,5]. 答案[3,5] 16.已知x>0,y>0,求z=(x+2y)2x+4y的最值. 甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法: 甲:z=(x+2y)2x+4y=2+4xy+4yx+8≥18, 乙:z=(x+2y)2x+4y≥22xy·28xy=16. ①你认为甲、乙两人解法正确的是　　　　　.  ②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题,使甲、乙的解法都正确:　.  答案①甲 ②答案不唯一. 如:已知x>0,y>0,求z=(a+b)1a+1b的最小值. 甲:z=(a+b)1a+1b=1+ba+ab+1≥4, 乙:z=(a+b)1a+1b≥2ab·21a·1b=4. 四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)若bc-ad≥0,bd>0,求证:a+bb≤c+dd. 证明∵bc-ad≥0,bd>0, ∴bc≥ad,1bd>0, ∴bc·1bd≥ad·1bd,即cd≥ab, ∴cd+1≥ab+1, ∴c+dd≥a+bb,即a+bb≤c+dd. 18.(12分)(2021四川资阳高一期末)已知全集U=R,集合A={x|a<x≤a+2,a∈R},B={x|-1<x<3}. (1)若a=1,求(∁UA)∩B; (2)若A∪B=B,求实数a的取值范围. 解(1)当a=1时,集合A={x|1<x≤3},B={x|-1<x<3}. ∴∁UA={x|x≤1或x>3},故(∁UA)∩B={x|-1<x≤1}. (2)∵A∪B=B,∴A⊆B, ∴a≥-1,a+2<3,解得-1≤a<1. ∴实数a的取值范围是[-1,1). 19.(12分)(2020山东菏泽高一期末)请在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在下面问题(2)中. 已知集合A={x|x2-4x-12≤0}, B={x|x2-2x+1-m2≤0,m>0}. (1)求集合A,B; (2)若x∈A是x∈B成立的　　　　　条件,判断实数m是否存在?若实数m存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 解(1)由x2-4x-12≤0得-2≤x≤6, 故集合A={x|-2≤x≤6}, 由x2-2x+1-m2=0得x1=1-m,x2=1+m, 因为m>0,故集合B={x|1-m≤x≤1+m}. (2)若选择条件①,即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,集合A是集合B的真子集, 则有1-m≤-2,1+m≥6,解得m≥5, 所以,实数m的取值范围是[5,+∞). 若选择条件②,即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件,集合B是集合A的真子集, 则有1-m≥-2,1+m≤6,解得0<m≤3, 所以实数m的取值范围是(0,3]. 若选择条件③,即x∈A是x∈B成立的充要条件,则集合A等于集合B, 则有1-m=-2,1+m=6,方程组无解, 所以不存在满足条件的实数m. 20.(12分)(2020广东华南师大附中高一期中)已知关于x的不等式x2-ax-2x+b<0. (1)若此不等式的解集为(-1,2),求a,b的值; (2)若b=2a,解关于x的不等式x2-ax-2x+b<0. 解(1)由不等式的解集为(-1,2), 可知方程x2-ax-2x+b=0的两根为-1和2, 得a+2=-1+2,b=-1×2,解得a=-1,b=-2. (2)由题意,知b=2a, 原不等式可化为x2-(a+2)x+2a>0; 因此(x-a)(x-2)<0. ①当a<2时,原不等式等价于a<x<2; ②当a=2时,原不等式等价于(x-2)2<0, 解集为空集; ③当a>2时,原不等式等价于2<x<a. 综上所述:当a<2时,原不等式的解集为(a,2); 当a=2时,原不等式的解集为空集; 当a>2时,原不等式的解集为(2,a). 21.(12分)(2020河南新乡高一检测)某乡镇政府为了解决农村教师的住房问题,计划征用一块土地盖一幢建筑总面积为10 000 m2公寓楼(每层的建筑面积相同).已知土地的征用费为1 000元/m2,土地的征用面积为第一层的85倍,经工程技术人员核算,第一层建筑费用为360元/m2,以后每增高一层,其建筑费用就增加50元/m2,设这幢公寓楼高层数为n,总费用为y万元.(总费用为建筑费用和征地费用之和) (1)若总费用不超过835万元,求这幢公寓楼最高有多少层数? (2)试设计这幢公寓的楼层数,使总费用最少,并求出最少费用. 解(1)每层建筑面积为10 000n m2,土地的征用的费用为1n×1.6×1 000=1 600n(万元); 建筑费用为360n+n(n-1)2×501n=25n+335(万元); 所以总费用y=25n+1 600n+335, 所以25n+1 600n+335≤835,即n2-20n+64≤0,4≤n≤16(n∈N), 所以这幢公寓楼最高可以盖16层. (2)由(1)知y=25n+1 600n+335≥225n×1 600n+335=735, 当且仅当25n=1 600n,即n=8,y=735时,等号成立,y取最小值. 所以设计这幢公寓为8楼层时,总费用最少为735万元. 22.(12分)已知函数y=x2-2ax-1+a,a∈R. (1)若a=2,试求函数yx(x>0)的最小值; (2)对于任意的x∈[0,2],不等式y≤a成立,试求a的取值范围. 解(1)依题意得yx=x2-4x+1x=x+1x-4. 因为x>0,所以x+1x≥2. 当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立. 所以yx≥-2. 故当x=1时,yx的最小值为-2. (2)因为y-a=x2-2ax-1,所以要使得“对于任意的x∈[0,2],不等式y≤a成立”只要“x2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”. 不妨设z=x2-2ax-1, 则只要z≤0在[0,2]上恒成立. 所以0-0-1≤0,4-4a-1≤0, 解得a≥34.所以a的取值范围是34,+∞. 8