第二章　4.1　函数的奇偶性.docx

第二章函数 §4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1　函数的奇偶性 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.(多选题)下列函数是奇函数的有(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=x(x-1)x-1 B.y=-3x13 C.y=x-2x D.y=πx3-35x 解析先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,D中函数定义域均为R,且f(-x)=-f(x),故为奇函数;选项C中函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-f(x),也是奇函数. 答案BCD 2.(2021安徽合肥高一期末)若奇函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在区间[1,2]上(　　) A.单调递增,且有最小值f(1) B.单调递增,且有最大值f(1) C.单调递减,且有最小值f(2) D.单调递减,且有最大值f(2) 解析因为奇函数的图象关于原点对称,所以函数f(x)在y轴两侧单调性相同.因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C. 答案C 3.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的单调递减区间是. 解析因为函数f(x)是偶函数,所以k-1=0,即k=1, 所以f(x)=-x2+3,其单调递减区间为[0,+∞). 答案[0,+∞) 4.定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则f(3),f(-2),f(1)的大小关系为　　　　　　　　.  解析由已知条件可知f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,所以f(3)<f(2)<f(1). 再由偶函数的性质得f(3)<f(-2)<f(1). 答案f(3)<f(-2)<f(1) 5.若函数f(x)=2x2+7x-4,x>0,g(x),x<0为奇函数,则f(g(-1))=　　　　　.  解析当x<0时,-x>0.因为f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x)=2(-x)2-7x-4=2x2-7x-4, 所以f(x)=-2x2+7x+4.即g(x)=-2x2+7x+4, 因此,f(g(-1))=f(-5)=-50-35+4=-81. 答案-81 6.已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=　　　　　.  解析令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数. 因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8, 所以h(-2)=f(-2)+8=18, 所以h(2)=-h(-2)=-18, 所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26. 答案-26 7.已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示. (1)画出在区间[-5,0]上的图象; (2)写出使f(x)<0的x的取值集合. 解(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示. (2)由图象知,使函数值f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5). 8.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值. 解∵当x<0时,f(x)=x2+3x+2,且f(x)是奇函数, ∴当x>0时,-x<0,则f(-x)=x2-3x+2, 故f(x)=-f(-x)=3x-x2-2. ∴当x∈1,32时,f(x)单调递增; 当x∈32,3时,f(x)单调递减.因此当x∈[1,3]时,f(x)max=f32=14,f(x)min=f(3)=-2. ∴m=14,n=-2,从而m-n=94. 9.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件: ①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数; ③f(1-a)+f(1-a2)<0. 求实数a的取值范围. 解∵f(x)为奇函数,∴f(1-a2)=-f(a2-1), ∴f(1-a)+f(1-a2)<0⇒f(1-a)<-f(1-a2) ⇒f(1-a)<f(a2-1). ∵f(x)在定义域(-1,1)上是减函数, ∴1-a>a2-1,-1<1-a<1,-1<a2-1<1,解得0<a<1, 故实数a的取值范围为(0,1). 关键能力提升练 10.(2021陕西西安长安一中高一月考)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 解析∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).对于A,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;对于B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;对于C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;对于D,|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C. 答案C 11.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值5,则F(x)在区间(-∞,0)上(　　) A.有最小值-5 B.有最大值-5 C.有最小值-1 D.有最大值-3 解析∵函数f(x)和g(x)都是奇函数, ∴F(x)-2=af(x)+bg(x)为奇函数. 又F(x)在区间(0,+∞)上有最大值5, ∴F(x)-2在区间(0,+∞)上有最大值3, F(x)-2在区间(-∞,0)上有最小值-3, ∴F(x)在区间(-∞,0)上有最小值-1. 答案C 12.已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,若g(x)=f(x-2)是奇函数,且g(2)=0,则不等式xf(x)≤0的解集是(　　) A.(-∞,-4]∪[-2,+∞) B.[-4,-2]∪[0,+∞) C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.(-∞,-4]∪[0,+∞) 解析g(x) =f(x-2)的图象是将函数f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的,又g(x)=f(x-2)的图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(-2,0)对称,大致图象如图所示,且f(0)=g(2)=0,f(-4)=g(-2)=-g(2)=0,f(-2)=g(0)=0,结合函数的图象,由xf(x)≤0可知x≥0,f(x)≤0或x<0,f(x)≥0. 结合图象可知x≥0或-2≤x<0或x≤-4. 故不等式xf(x)≤0的解集是(-∞,-4]∪[-2,+∞),故选A. 答案A 13.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+1x+1+t,则t=　　　　,f(-2)=　　　　　.  解析因为函数f(x)为R上的奇函数, 所以f(0)=0,即-02+10+1+t=0,解得t=-1. 所以f(x)=-x2+1x+1-1. 所以f(2)=-22+12+1-1=-143. 所以f(-2)=-f(2)=143. 答案-1　143 14.定义在区间(-8,a)上的奇函数f(x)在区间[2,7]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为a,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)=　　　　　.  解析根据题意,f(x)是定义在区间(-8,a)上的奇函数,则a=8.又由f(x)在区间[2,7]上单调递增,且在区间[3,6]上的最大值为a=8,最小值为-1,则f(6)=a=8,f(3)=-1. 函数f(x)是奇函数,则f(-6)=-8,f(-3)=1. 则2f(-6)+f(-3)=2×(-8)+1=-15. 答案-15 15.如果f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x+2)<5的解集是　　　　　.  解析因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5,则|x+2|2-4|x+2|<5,即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0, 所以|x+2|<5,解得-7<x<3, 所以不等式f(x+2)的解集是(-7,3). 答案(-7,3) 16.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式f(x)g(x)<0的解集是　.  解析不等式f(x)g(x)<0可化为f(x)g(x)<0, 由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)∪(2,3). ∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数, ∴f(x)g(x)是奇函数, ∴当x<0时,f(x)g(x)<0的解集为(-2,-1). 综上,不等式f(x)g(x)<0的解集是{x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3}. 答案{x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3} 17.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线. (1)求出函数f(x)的解析式; (2)求出函数f(x)的值域. 解(1)∵f(x)的图象经过点(-2,0), ∴0=-2+b,即b=2. ∴当x≤-1时,f(x)=x+2. ∵f(x)为偶函数, ∴当x≥1时,f(x)=f(-x)=-x+2. 当-1≤x≤1时,依题意设f(x)=ax2+2(a≠0), 则1=a·(-1)2+2,∴a=-1. ∴当-1≤x≤1时,f(x)=-x2+2. 综上,f(x)=x+2,x≤-1,-x2+2,-1<x<1,-x+2,x≥1. (2)当x≤-1时,f(x)=x+2∈(-∞,1]; 当-1<x<1时,f(x)=-x2+2∈(1,2]; 当x≥1时,f(x)=-x+2∈(-∞,1]. 综上所述,f(x)的值域为(-∞,2]. 学科素养拔高练 18.(2021吉林高一月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)求出函数f(x)在R上的解析式; (3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2,x∈[1,2],求函数g(x)的最小值. 解(1)由题意知当x≥0时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,此时函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1). 又函数f(x)为偶函数,所以当x<0时,其单调递增区间为(-1,0), 所以函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞). (2)设x<0,则-x>0, 所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x, 由已知f(x)=f(-x), 所以当x<0时,f(x)=x2+2x, 所以f(x)=x2-2x(x≥0),x2+2x(x<0). (3)由(2)可得g(x)=x2-(2a+2)x+2,x∈[1,2], 对称轴为直线x=a+1. 当a<0时,a+1<1,此时函数g(x)在区间[1,2]上单调递增, 故函数g(x)的最小值为g(1)=1-2a; 当0≤a≤1时,1≤a+1≤2,此时函数g(x)在对称轴处取得最小值, 故函数g(x)的最小值为g(1+a)=-a2-2a+1; 当a>1时,a+1>2,此时函数g(x)在区间[1,2]上单调递减, 故函数g(x)的最小值为g(2)=2-4a. 综上,函数g(x)的最小值为g(x)min=1-2a,a<0,-a2-2a+1,0≤a≤1,2-4a,a>1. 6