5.2.2　同角三角函数的基本关系(1).docx

5.2.2　同角三角函数的基本关系 课后篇巩固提升 合格考达标练 1.已知cos θ=45,且3π2<θ<2π,则1tanθ的值为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.34 B.-34 C.43 D.-43 答案D 解析因为cos θ=45,且3π2<θ<2π, 所以sin θ=-1-cos2θ=-35. 所以tan θ=-34,故1tanθ=-43. 2.已知cos α+sin α=-12,则sin αcos α的值为(　　) A.-38 B.±38 C.-34 D.±34 答案A 解析由已知得(cos α+sin α)2=sin2α+cos2α+2sin αcos α=1+2sin αcos α=14,解得sin αcos α=-38. 3.(2021北京东城高一期末)已知tan α=-1,则2sin2α-3cos2α=(　　) A.-74 B.-12 C.12 D.34 答案B 解析因为tan α=-1,则2sin2α-3cos2α=2sin2α-3cos2αsin2α+cos2α=2tan2α-3tan2α+1=2×1-3(-1)2+1=-12.故选B. 4.若tan α=2,则sinα+cosαsinα-cosα+cos2α=(　　) A.165 B.-165 C.85 D.-85 答案A 解析sinα+cosαsinα-cosα+cos2α=sinα+cosαsinα-cosα+cos2αsin2α+cos2α=tanα+1tanα-1+1tan2α+1=165,故选A. 5.若tan2x-sin2x=165,则tan2xsin2x=　　　　　.  答案165 解析tan2xsin2x=tan2x(1-cos2x) =tan2x-tan2xcos2x=tan2x-sin2x=165. 6.已知α为第二象限角,则cos α1+tan2α+sin α1+1tan2α=　　　　　.  答案0 解析原式=cos αsin2α+cos2αcos2α+sin α·sin2α+cos2αsin2α=cos α1|cosα|+sin α1|sinα|, 因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0, 所以cos α1|cosα|+sin α1|sinα|=-1+1=0, 即原式等于0. 7.(2021福建泉州质检)已知θ为第四象限角,sin θ+3cos θ=1,则tan θ=　　　　　.  答案-43 解析由题意知(sin θ+3cos θ)2=sin2θ+cos2θ,得6sin θcos θ=-8cos2θ,又因为θ为第四象限角,所以cos θ≠0,所以6sin θ=-8cos θ,所以tan θ=-43. 8.已知tan α=23,求下列各式的值: (1)cosα-sinαcosα+sinα+cosα+sinαcosα-sinα; (2)1sinαcosα. 解(1)cosα-sinαcosα+sinα+cosα+sinαcosα-sinα=1-tanα1+tanα+1+tanα1-tanα=1-231+23+1+231-23=265. (2)1sinαcosα=sin2α+cos2αsinαcosα=tan2α+1tanα=136. 等级考提升练 9.化简11+tan2160°的结果为(　　) A.-cos 160° B.cos 160° C.1cos160° D.1-cos160° 答案A 解析原式=11+sin2160°cos2160°=1cos2160°+sin2160°cos2160° =11cos2160°=cos2160°=|cos 160°| =-cos 160°.故选A. 10.(2021河南郑州高一月考)已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=59,则sin θcos θ的值为(　　) A.23 B.-23 C.13 D.-13 答案A 解析θ为第三象限角,则sin θ<0,cos θ<0,sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=59,∴sin2θcos2θ=29. 又sin θcos θ>0,∴sin θcos θ=23. 11.若θ是△ABC的一个内角,且sin θcos θ=-18,则sin θ-cos θ的值为(　　) A.-32 B.32 C.-52 D.52 答案D 解析由题意知θ∈π2,π,所以sin θ-cos θ>0,sin θ-cos θ=(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=52. 12.若cos α+2sin α=-5,则tan α等于(　　) A.12 B.2 C.-12 D.-2 答案B 解析(方法一)由cosα+2sinα=-5,cos2α+sin2α=1联立消去cos α, 得(-5-2sin α)2+sin2α=1. 化简得5sin2α+45sin α+4=0, ∴(5sin α+2)2=0, ∴sin α=-255.∴cos α=-5-2sin α=-55. ∴tan α=sinαcosα=2. (方法二)∵cos α+2sin α=-5, ∴cos2α+4sin αcos α+4sin2α=5. ∴cos2α+4sinαcosα+4sin2αcos2α+sin2α=5. ∴1+4tanα+4tan2α1+tan2α=5,∴tan2α-4tan α+4=0. ∴(tan α-2)2=0,∴tan α=2. 13.(多选题)化简cosα1-sin2α+2sinα1-cos2α的值为(　　) A.-1 B.1 C.-3 D.2 答案ABC 解析原式=cosα|cosα|+2sinα|sinα|, 当α为第一象限角时,上式值为3; 当α为第二象限角时,上式值为1; 当α为第三象限角时,上式值为-3; 当α为第四象限角时,上式值为-1. 14.(多选题)已知tan2x-2tan2y-1=0,则下列式子成立的是(　　) A.sin2y=2sin2x+1 B.sin2y=-2sin2x-1 C.sin2y=2sin2x-1 D.sin2y=1-2cos2x 答案CD 解析∵tan2x-2tan2y-1=0,sin2xcos2x-2·sin2ycos2y-1=0, 整理得sin2x·cos2y-2sin2y·cos2x=cos2y·cos2x, ∴(1-cos2x)(1-sin2y)-sin2y·cos2x=(cos2y+sin2y)·cos2x,即1-cos2x-sin2y+sin2y·cos2x-sin2y·cos2x=cos2x, 即sin2y=1-2cos2x=2sin2x-1,∴C,D正确. 15.已知cosα+π4=13,0<α<π2,则sinα+π4=　　　　　.  答案223 解析∵sin2α+π4+cos2α+π4=1, ∴sin2α+π4=1-19=89.∵0<α<π2, ∴π4<α+π4<3π4.∴sinα+π4=223. 16.(2020河北衡水高一检测)设a>0,且a≠1,若loga(sin x-cos x)=0,则sin8x+cos8x=　　　　.  答案1 解析设a>0且a≠1,若loga(sin x-cos x)=0, 所以sin x-cos x=a0=1,所以(sin x-cos x)2=sin2x+cos2x-2sin xcos x=1, 又sin2x+cos2x=1,所以sin xcos x=0,又由(sin2x+cos2x)2=sin4x+cos4x+2sin2xcos2x=1, 则sin4x+cos4x=1,所以sin8x+cos8x=(sin4x+cos4x)2-2sin4xcos4x=(sin4x+cos4x)2=1. 17.若3π2<α<2π,化简:1-cosα1+cosα+1+cosα1-cosα. 解∵3π2<α<2π,∴sin α<0.∴原式=(1-cosα)2(1+cosα)(1-cosα)+(1+cosα)2(1-cosα)(1+cosα) =(1-cosα)2sin2α+(1+cosα)2sin2α=|1-cosα||sinα|+|1+cosα||sinα|=-1-cosαsinα-1+cosαsinα=-2sinα. 新情境创新练 18.已知θ∈(0,π),且sin θ,cos θ是方程25x2-5x-12=0的两个根,求sin3θ+cos3θ和tan θ-1tanθ的值. 解(方法一)由题意得sin θ+cos θ=15,sin θcos θ=-1225,易知θ≠π2.∴sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)=(sin θ+cos θ)(1-sin θcos θ) =15×1+1225=37125. tan θ-1tanθ=sinθcosθ-cosθsinθ=sin2θ-cos2θsinθcosθ =(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)sinθcosθ. ∵θ∈(0,π),sin θcos θ<0, ∴sin θ>0,cos θ<0,则sin θ-cos θ>0. ∴sin θ-cos θ=(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1+2×1225=4925=75. ∴tan θ-1tanθ=15×75-1225=-712. (方法二)方程25x2-5x-12=0的两根分别为45和-35. ∵θ∈(0,π),且sin θcos θ=-1225<0, ∴sin θ>0,cos θ<0,则sin θ=45,cos θ=-35, ∴sin3θ+cos3θ=453+-353=64125-27125=37125,tan θ-1tanθ=sinθcosθ-cosθsinθ=45-35--3545=-43+34=-712. 5