“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/4．3导数在研究函数中的应用4．3.1利用导数研究函数的单调性[读教材·填要点]函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系：导函数的正负函数在(a，b)上的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常数函数[小问题·大思维]1．在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分不必要条件．2．右图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？提示：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2,1]，[3，＋∞)；单调递减区间：[－3，－2]，[1,3]．判断(或证明)函数的单调性已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f(x)的单调性．[自主解答]由题设知a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3ax，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.当a>0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0.∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．若x∈，则f′(x)<0，∴f(x)在区间上为减函数．若x∈，则f′(x)>0，∴f(x)在区间上是增函数．当a<0时，若x∈，则f′(x)<0.∴f(x)在上是减函数．若x∈，则f′(x)>0.∴f(x)在区间上为增函数．“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0.∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．利用导数判断或证明函数单调性的思路1．求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．证明：由f(x)＝ex－x－1，得f′(x)＝ex－1.当x∈(0，＋∞)时，ex－1>0，即f′(x)>0.∴f(x)在(0，＋∞)内为增函数．当x∈(－∞，0)时，ex－1<0，即f′(x)<0.∴f(x)在(－∞，0)内是减函数．求函数的单调区间求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝3x2－lnx；(2)f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)．[自主解答](1)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝，令f′(x)>0，即>0， x>0，∴6x2－1>0，∴x>.令f′(x)<0，即<0， x>0，∴6x2－1<0，∴00⇔...
