0527高一数学(人教B版)-两角和与差的正弦、正切（第一课时）-1教案【公众号悦过学习分享】.docx

教 案 教学基本信息 课题 两角和与差的正弦、正切（第一课时） 学科 数学 学段：高中 年级 高一 教材 书名： 普通高中教科书数学必修第三册（人教B版） 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019 年7 月 教学设计参与人员 姓名 单位 设计者 徐艳玲 北京市房山区良乡中学 实施者 徐艳玲 北京市房山区良乡中学 指导者 刘雪明 北京市房山区教师进修学校 课件制作者 徐艳玲 北京市房山区良乡中学 其他参与者 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1. 理解两角和与差的正弦公式的推导过程，在推导过程中体验数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算四大核心素养; 2．通过观察、分析、类比、联想，体会用两角和与差的正弦公式求值、化简，进行简单的恒等变形;会根据已知点的坐标，求出旋转后的坐标；能熟练地掌握函数的相关性质和物理意义； 3．发展学生的正向、逆向思维和发散思维的能力，构建良好的数学思维品质. 教学重点、难点 教学重点：两角和与差的正弦公式的应用和辅助角公式. 教学难点：利用两角和与差的正弦公式 将函数转化为的形式. 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 温故知新 1．诱导公式二 利用诱导公式二，可以把负角的三角函数值转化为正角的同名三角函数值. 2．诱导公式五 利用诱导公式五，可以把一个角的正弦、余弦转化为它的余角的余弦、正弦. 3．两角差的余弦公式 利用这个公式可以将角与差的余弦用角,角正弦、余弦表示. 通过对旧知识的回忆，检查学生对已学知识是否掌握，从而为探索新知做准备. 探究新知 尝试与发现： (1) 怎样借助的三角函数值求出的值? (2) 一般地,怎样根据与的三角函数值求出 的值? 分析:我们可以利用学过的知识,这样求的值: 受此启发,根据两角和与差的余弦公式,可以证明如下的两角和与差的正弦公式. 证明：由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知 而且用 替换中的得到 想一想：公式有何特点？你如何记忆？ 1. 公式中一共涉及到两个角与,左边若是两角和的正弦，右边用加号连接;左边若是两角差的正弦，右边用减号连接； 2. 在两角和的正弦公式中，左边是角与角和的正弦，右边为角的正弦与角的余弦的乘积加上角的余弦与角的正弦的乘积; 在两角差的正弦公式中，左边是角与角差的正弦，右边为角的正弦与角的余弦的乘积减去角的余弦与角的正弦的乘积. 公式的助记方法是： 我们可以利用所学公式解决如下问题： 例如， 或者 利用与同样可以求出以及证明诱导公式 , 等，同学们可以自行尝试. 由特殊到一般，利用诱导公式以及两角和与差的余弦公式推导出两角和的正弦公式. 再用 替换中的推导出两角差的正弦公式. 分析两角和与差的正弦公式的特点，帮助学生记忆公式. 应用所学公式,解决三角函数求值问题，证明诱导公式等. 典例剖析 例1 已知向量如图所示，将向量绕 原点沿逆时针方向旋转到的位置. 求点 的坐标 解 因此 从而 . 例2 求证: 证明 (法1) 因为 所以 这种证明方法是将等式的左边化为右边,是两角和与差正弦公式的逆用; (法2) 这种证明方法是将等式的右边化为左边,是两角和与差正弦公式的正用. 尝试与发现 如果函数 你能求出的最大值及最大值点吗？ 由例2的结果可知， 因此的最大值为1，而且的最大值点满足因此最大值点为 例3 在求函数的最小值时，下面的说法正确吗？ “因为的最小值为 ,的最小值也为 ,所以的最小值为 .” 如果不对,指出原因,并求的周期、最小值与最小值点. 解 因为时有 而时有 因此与不能同时成立，这就是说，的最小值不是，有关说法不对. 又因为 ,所以 由此可知函数的周期为 最小值为而且最小值点满足因此最小值点为 探究： 由例3可以看出:当a，b都是不为零的常数时，为了求出函数的周期、最值等，关键是要将函数化为的形式.也就是说,要找到合适的和,使得 ① 恒成立. 尝试与发现： 满足①式的和一定存在吗?它们与a,b有什么关系？ 如果①式恒成立,则将①式的右边用展开可得 , 因此从而可知 因此,如果取则有 ② 由②式以及任意角的余弦、正弦的定义可知，若记平面直角坐标系中坐标为 的点为,而是以射线为终边的角,如图所示，则一定满足②式. 这就是说， 满足①式的 和一定存在.因此其中满足②式. 公式 其中 这里的是我们引入用来辅助计算的一个角，所以通常称这个公式为“辅助角公式”. 例4 已知函数求的周期、最小值及最小值点. 解 因为.所以 所以， 由此可知函数的周期为最小值为-2，而且最小值点满足因此最小值点为 通过例1，不仅练习了两角和的正弦和余弦公式，还体会了向量的旋转变换，复习了角的定义、三角函数的定义等知识.可以感受到知识之间的广泛联系性. 证明一个等式，可以从左边推出右边，也可以由右边推出左边来证明.体会两角和与差的正弦公式的正用与逆用. 为了引出辅助角公式做准备，体现了从特殊到一般的认知规律. 利用两角和的正弦公式将函数转化为正弦型函数,这是一种经常用到的变换，再利用正弦型函数的图像与性质，研究三角函数的周期、单调性、最值和最值点等相关性质. 引导学生在涉及到解决三角函数的值域、周期等性质的问题时首先要把解析式化简成一个角的三角函数形式，此问题得以解决的实质是构造两角和的正弦展开式的结构逆用公式.理解辅助角公式的推导过程. 要研究函数的性质，必须要把转化为的形式，这是一种非常重要的变换，在变换的过程中用到了辅助角公式，其本质就是两角和与差的正弦公式的逆用. 课堂小结 1.本节课你学到了什么？ 两角和与差的正弦公式、辅助角公式； 2.你是如何获得这些知识的？ 从特殊到一般，从具体到抽象； 3.通过本节课的学习，谈谈你的体会. 用已知探究未知的方式，探究过程体会了从特殊到一般的数学思想. 让学生通过小结，反思学习过程，加深对两角和与差的正弦公式的推导过程的理解，会应用两角和与差的正弦公式求值和证明，领会研究问题的方法；明确研究问题的步骤. 布置作业 1.已知向量将绕原点旋转到 的位置.求点的坐标. 2.求函数的周期、最值以及最值点. 通过这两道问题的解决,巩固本节课所学的知识.