选修1-1导数 31导数的概念.doc

3.1 导数的概念 知识点总结： 1. 从函数在处的瞬时变化率是:，我们称它为函数在处的导数，记作或，即 2. 定义法求函数的导数，有三步： （1）求函数的改变量； （2）求平均变化率； （3）取极限，得导数＝. 表示函数的导数在出的值. 3. 对于函数来说，我们把称为从到的平均变化率。若设Δx = x1+ x2 Δy==f(x2)-f(x1) ，平均变化率可表示为=。 类比联想，从到的平均变化率表示过点直线的斜率。 4.设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)。以t0为起始时刻，物体在Dt时间内的平均速度为。 可作为物体在t0时刻的速度的近似值，D t 越小，近似的程度就越好。所以当Dt®0时，物体在t0时刻的瞬时速度是。 4.局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 练习题 1.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量x（ ） A． 大于零  B．小于零  C．等于零  D．不等于零 2.（08年全国卷Ⅰ文）曲线在点处的切线的倾斜角为   A．30°           B．45°         C．60°         D．120° 3.（09年湖北百所重点联考文）已知一个物体的运动方程为 那么物体在3s末的瞬时速度是  （    ）     A．5m/s B．6m/s C．7m/s D．8m/s 4.与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则与满足（    ） A．           B．为常数函数 C．          D．为常数函数 5.已知点P(1,2)是曲线y=2x2上一点，则P处的瞬时变化率为    （  ）   A．2  B．4  C．6  D． 6.已知曲线y=x2+1在点M处的瞬时变化率为-4，则点M的坐标为（  ）   A．（1，3）  B．（-4，33） C．（-1，3）  D．不确定 7.,若,则的值等于（     ） A．              B．                C．                D． 8.（06年四川卷文）曲线在点处的切线方程是 （A）        （B）  （C）            （D） 9.已知，f(x)=0有不等实根，则的取值范围为(　　)  A．  B．   C．或   D．或 10.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（    ） A.( 1 , 0 )    B.( 2 , 8 )        C.( 1 , 0 )或(－1, －4)         D.( 2 , 8 )和或(－1, －4) 11.（08年全国卷2文）设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则（    ） A．1       B．          C．         D． 12.（06年安徽卷理）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（   ） A．   B．  C．    D． 13.(07年全国卷Ⅱ文)已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ） A．1                     B．2                     C．3                     D．4 14.（07年全国卷Ⅰ文）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 A．               B．               C．                 D． 15. y=－2x2+1在（0，1）处的平均变化率为             。 16. y=-x3-x在（4，1）处的导数为               。 17.（06年福建卷）已知直线与抛物线相切，则 18.已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线  平行直线4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限, ⑴求P0的坐标; ⑵若直线  , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程. 【励志导学】 注意细节其实是一种功夫，这种功夫是靠日积月累培养出来的。谈到日积月累，就不能不涉及到习惯，因为人的行为的95%都是受习惯影响的，在习惯中积累功夫，培养素质。爱因斯坦曾说过这样一句有意思的话：“如果人们已经忘记了他们在学校里所学的一切，那么所留下的就是教育。”也就是说“忘不掉的是真正的素质”。而习惯正是忘不掉的最重要的素质之一。 微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，我国古代的数学家庄周和刘徽都做出了巨大的贡献。到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，如物体在研究运动时，求即时速度的问题，求曲线的切线的问题，求函数的最大值和最小值问题。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，这也就成了促使微积分产生的因素，他们为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，在前人研究的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里细心钻研，独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)，微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。自己也奠定了在微积分理论方面的坚实基础。 本章主要由三部分，导数的概念及其几何意义、导数的基本运算、导数在研究函数中的应用以及生活中的优化问题，在学习本章时，应注意以下几个方面的问题：（1）导数是建立在极限基础上的，并用极限定义的基本概念，它在微积分中有极其重要的地位，导数也就是函数的变化率，可直接反映出实际问题中函数变化的快慢，如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等；（2）导数的方法涉及导数定义、常用求导公式、四则运算法则等求导方法，因此重点应为导数的概念与计算。学习时应熟练掌握直接利用法则和公式求导，应熟记导数公式与运算法则；（3）倒数的应用比较广泛，利用导数可以求函数的单调区间、极值、最大值与最小值问题，还可以用来解决实际生活中的某些应用问题，所在学习导数时，要注重于前面所学函数知识的联系，对于以前学过的一些函数问题，可尝试着用导数的方法做一做，从而达到熟练应用导数的目的。 【思维导图】 答案：1~14 DBABB CDDDC AAAA 15. 0.9 16. 47 17. 1/4 18. (1)由y=x3+x－2，得y′=3x2+1， 由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4. 又∵点P0在第三象限, ∴切点P0的坐标为 (－1,－4). ⑵∵直线,的斜率为4,∴直线l的斜率为 ∵l过切点P0,点P0的坐标为 (－1,－4) ∴直线l的方程为即 5