八年级秋季班-第12讲：正反比例函数综合-马秋燕.docx

八年级秋季班 正反比例综合 内容分析 正、反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，主要对正、反比例函数的图像及性质综合题型进行讲解，重点是正、反比例函数性质的灵活运用，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习一次函数的应用提供依据． 知识结构 模块一：正反比例函数图像和性质 知识精讲 一、 正比例函数 1、如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是，或表示为，k是不等于零的常数． 2、解析式形如（k是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式． 3、一般地，正比例函数（k是常数，k≠0）的图象是经过（0，0），（1，k）这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线． 4、正比例函数图像的性质： （1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐增大． （2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y值反而逐渐减小． 二、 反比例函数 1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，用数学式子表示两个变量x、y成反比例，就是，或表示为，其中k是不等于零的常数． 2、 解析式形如（k是常数，）的函数叫做反比例函数，其中k也叫做比例 系数．反比例函数的定义域是不等于零的一切实数． 3、反比例函数的图像：按照作函数图像的一般步骤，通过列表、描点、连线，来画反比例函数（k是常数，k≠0）的图像．反比例函数（k是常数，k≠0）的图像叫做双曲线，它有两支． 4、反比例函数图像的性质： （1）当k>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小； （2）当k<0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大； （3）图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交． 例题解析 【例1】 函数： （1） 当m为_______时，它是正比例函数，且y随x的增大而增大； （2） 当m为_______时，它是反比例函数，且在各个象限中，y随x的增大而增大． 【难度】★ 【例2】 （1）函数与的图像的交点坐标是_______________； （2）函数的图像的交点坐标是___________．【难度】★ 【例3】 已知直线与双曲线的一个交点A的坐标为， 则=________；它们的另一个交点坐标是___________．【难度】★ 【例4】 若与成正比例关系，z与成正比例关系，则y与z成___________关系． 【难度】★ 【例5】 若正比例函数和反比例函数的图像经过点A（-2，1）和点B，则的值为 ___________．【难度】★★ 【例6】 若直线与双曲线的图像有两个交点，则的取值范围是___________．【难度】★★ A x y O B y x O D y x O C y x O 【例7】 如图，正比例函数和反比例函数的图像在同一平面直角坐标系中大致是（ ）． 【难度】★★ 【例8】 若A、B两点关于y轴对称，点A在双曲线上，点B在上，则B点坐标是_________．【难度】★★ 【例9】 正比例函数和反比例函数的图像交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，若△ABC的面积是S，求S的值．【难度】★★ 【例10】 已知正比例函数与反比例函数交于A、B两点，且点A的横坐标是-1，点B的纵坐标是2，求这两个函数的解析式． 【难度】★★ 【例11】 已知反比例函数和正比例函数的图像交于点（2，3）， （1） 求这两个函数解析式； （2） 判断点（1，6）是否在反比例函数的图像上； （3） 求两个函数图像的另一个交点．【难度】★★ 【例12】 已知函数的图像上一点A，并且它和反比例函数的图像交于点B（2，m）求反比例函数的解析式．【难度】★★ 【例13】 已知函数的图像有两个交点，其中一个交点的横坐标是1，求这两个函数图像的交点坐标．【难度】★★ 【例14】 已知直角坐标系内一个正方形的边长为2，中心位于点（2，2），各边与坐标轴平 行，双曲线与正方形有公共点，求k的取值范围．【难度】★★ 【例15】 已知，其中与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求： （1）y与x的函数解析式； （2）当时，y的值．【难度】★★ 【例16】 已知：，与成正比例，与x+8成反比例，且当和时，的值分别是3和-11，求和之间的函数关系式．【难度】★★ 【例17】 在同一平面直角坐标系中，已知正比例函数和正反比例函数的图像相交于P、Q两点，点A在x轴的负半轴上，且与原点的距离是4， （1）求P、Q两点的坐标； （2）求△APQ的面积．【难度】★★ A B O x y 【例18】 A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点向x、y轴作垂线段，重叠部分的面积为，如图所示，求空白部分的面积之和，即的值． 【难度】★★ A B C O E F G P y x 【例19】 如图，已知正方形OABC的面积是9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B是双曲线上的点，P（m，n）是图像上任意一点，过点P分别作x、y轴的垂线段，垂足分别为E、F，若矩形OEPF和正方形OABC重合的部分的面积是S，求出S和m的函数关系式． 【难度】★★ A B C P Q x y O 【例20】 已知函数的图象与的图象关于y轴对称．在的图象上取一点P（P点的横坐标大于2)，过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若存在两点B、C，且B(0，2)，C(2，0)，使得四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标． 【难度】★★ A B C D O x y 【例21】 如图，正比例函数（k>0）与反比例函数的图像交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC．若△ABC的面积是S，试指出S是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【难度】★★ A B C D E P x y O L 【例22】 如图，直线l和双曲线交于A、B两，P是线段AB上的点（不与A、 B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP， 设△AOC面积是，△BOD面积是，△POE面积是，试比较的大小 关系． 【难度】★★★ A B C D O x y 【例23】 已知：关于x的一元二次方程的两根满足，双曲线经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于点C，求． 【难度】★★★ 【例24】 已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数的图像与AC边交于点E． （1）求出满足题意的k的取值范围； （2）记，求S关于k的函数解析式； x A B C O y E F （3）是否存在这样的实数k，使△OEF和△ECF面积相等?若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由． 【难度】★★★ O 【例25】 如图，、都是等腰直角三角形，点、在函数的图像上，斜边、都在轴上，则点的坐标为_________． 【难度】★★★ 【例26】 在平面直角坐标系xOy中，直线过点A(1，0)且与y轴平行，直线过点 B(0，2)且与x轴平行，直线与相交于P．点E为直线一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F. （1）若点E与点P重合，求k的值； E A B x y O P F （2）连接OE、OF、EF，若，且△OEF的面积为△PEF的面积2倍，求点E的坐标．【难度】★★★ y A B x O P 【例27】 如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标是4，过原点O的另一条直线L交双曲线于P、Q两点（点P在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形的面积是24，求点P的坐标． A B O x y 【难度】★★★ 随堂检测 【习题1】 已知正比例函数与反比例函数的图像有一个交点，那么这两个函数的另一个交点的坐标为________，两个函数解析式分别是_________________________． 【难度】★ 【习题2】 若正比例函数和反比例函数都经过和都经过点 （2，3）则___________，__________．【难度】★ 【习题3】 已知：： （1）如果y是x的正比例函数，则m______，函数解析式为_________； P O x D y （2）如果y是x的反比例函数，则m______，函数解析式为_________．【难度】★ 【习题4】 点P是反比例函数图像上的一点，PD⊥x轴，则△POD的面积为_______．【难度】★ 【习题5】 如图，A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为P、C，若矩形ACOP的面积是3，则反比例函数的解析式是________． A x C OD P y 【难度】★ 【习题6】 已知函数与反比例函数的图像在同一直角坐标系中无交点，则a和b的关系式（ ）． A． B． C． D． 【难度】★★ 【习题7】 已知函数与反比例函数的图像在如图所示，下列结论正确的是（ ）． ① 两函数的交点坐标为（2，2）； ② 当； ③ 直线x=1分别与两函数的图像交于B、C两点，则线段BC的长为3； ④ 当x逐渐增大时，随x的增大而增大，随x的增大而减小． A．只有①② B．只有①③ C．只有②④ D．只有①③④ A B C O x y 【难度】★★ 【习题8】 已知，与成正比例，与成反比例，当x = 1时，；当x = 3时，y = 5； （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，求y的值．【难度】★★ 【习题9】 点P是反比例函数与正比例函数的图像的交点，PQ⊥x轴于点 Q（2，0）． （1） 求这个反比例函数的解析式； （2） 如果点M在这个反比例函数的图像上，且△MPQ的面积是6，求M点的坐标． 【难度】★★ A B C D E x y O 【习题10】 已知：如图，等腰Rt△ABC的直角边BC在x轴的正半轴上，斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴的负半轴于点E，且B恰好是DE的中点，双曲线经过点A，若△BEC的面积为5，求k的值． 【难度】★★★ A B C D P x y O 【习题11】 两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论:①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点. 其中一定正确的是( ) A．①②③④ B． ①②③ C．①②④ D． ①③④ 【难度】★★★ 【习题12】 已知：正方形的顶点在反比例函数的图象上，顶点分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形，顶点在反比例函数的图象上，顶点在x轴的正半轴上，则点的坐标为______． x O y 【难度】★★★ 课后作业 【作业1】 已若与成反比例，与成正比例，则是的__________． 【难度】★ 【作业2】 正比例函数和反比例函数的图像都经过A(m，1)，则_________，反比例函数的解析式为______________．【难度】★ 【作业3】 A是反比例函数图像上的一点，AB⊥x轴于点B，若，则k的值是__________．【难度】★ 【作业4】 设直线与双曲线相交于、两点，则的值为( ) A．-10 B．-5 C．5 D．10【难度】★★ -1 1 -1 1 1 -1 1 x y x y x y x y -1 【作业5】 在同一坐标系中函数和的大致图像是（ ） A B C D 【难度】★★ A B C D O x y 【作业6】 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点A、C两点， AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，求四边形ABCD的面积． 【难度】★★ 【作业7】 已知，与成正比例，与成反比例，当x=1时，y的值为5；当x=4时，y的值为18，求当x=9时，y的值． 【难度】★★ A B C x=t x y O 【作业8】 如图，直线与反比例函数的图象分别交于B，C两点，A为y轴上的任意一点，求△ABC的面积 【难度】★★ A F B C D E x y O 【作业9】 如图所示，正方形OABC、ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点F在AB上，点B、E在函数的图像上，求点E的坐标． 【难度】★★★ 【作业10】 如图所示，已知正比例函数的图像和反比例函数的图像交于A（3，2）． （1） 试确定正比例函数和反比例函数的解析式； （2） 根据图像回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值； （3） M（m，n）是反比例函数上的动点，其中，过点M坐MN∥x轴，交y轴于点B，过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线BM于点D，当四边形OADM的面积是6时，请判断BM与DM的大小关系，并说明理由． A B M D C x y O 【难度】★★★ 【作业11】 如图（a)双曲线与直线交于A、B两点，点A在第一象限，试回答一下问题 （1） 若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为______________；若A的横坐标为m，则点 B的坐标可以表示为______________； （2） 如图（b）所示，过原点O作另一条直线l，交双曲线于P、Q两点，点P在第一象限，①说明四边形APBQ一定是平行四边形②设点A、P的横坐标分别是m、n四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出m、n应满足的条件；若不可能，请说明理由． A B O x y A Q P O y B x 【难度】★★★ 15 / 15