........第四节曲面积分（二）高斯公式设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面Σ所围成.若函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有˚Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dv="ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy,或˚Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dv="Σ(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS.这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα，cosβ，cosγ是Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.........例15..计算˜Σaxdydz+(z+a)2dxdy(x2+y2+z2)12，其中Σ为下半球面z=−√a2−x2−y2的上侧，a为大于零的常数................例16..计算曲面积分I=!Σxdydz+ydzdx+zdxdy(x2+y2+z2)32，其中Σ是曲面2x2+2y2+z2=4的外侧...............散度设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,其中函数P，Q，R均具有一阶连续偏导数，Σ是场内一片有向曲面，n是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量，则积分˜ΣA·ndS称为向量场A通过曲面Σ向着指定侧的通量(或流量).∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z叫做向量场A的散度，记作divA.利用向量微分算子∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)，A的散度divA也可以表达为∇·A，即divA=∇·A.........例17..向量场u(x,y,z)=xy2i+yezj+xln(1+z2)k在点P(1,1,0)处的散度divu=........斯托克斯公式设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ为以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与Σ的侧符合右手规则(当右手除拇指外的四指沿Γ的绕行方向时，拇指所指的方向与Σ上法向量的指向相同，此时称Γ是有向曲面Σ的正向边界曲线).若函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在曲面Σ(连同边界Γ)上具有一阶连续偏导数，则有¨Σ(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=˛ΓPdx+Qdy+Rdz........可以利用行列式记号把斯托克斯公式写成¨Σ������dydzdzdxdxdy∂∂x∂∂y∂∂zPQR������=˛ΓPdx+Qdy+Rdz.利用两类曲面积分之间的联系，还可以得到斯托克斯公式的另一形式：¨Σ������cosαcosβcosγ∂∂x∂∂y∂∂zPQR������dS=˛ΓPdx+Qdy+Rdz,其中n=(cosα,cosβ,cosγ)为有向曲面Σ在点(x,y,z)处的单位法向量.........例18..设L是柱面x2+y2=1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分¸Lxzdx+xdy+y22dz=...............思考(2022，一)已知曲线L是曲面Σ:4x2+y2+z2=1，x≥0，y≥0，z≥0的边界，曲面Σ方向朝上，曲线L的方向和曲面Σ的方向符合右手法则，计算I=¸L(yz2−cosz)dx+2xz2dy+(2xyz+xsinz)dz........旋度设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k.若P，Q，R均具有一阶连续偏导数，则向量(∂R∂y−∂Q∂z)i+(∂P∂z−∂R∂x)j+(∂Q∂x−∂P∂y)k称为向量场A的旋度，记作rotA，即rotA=(∂R∂y−∂Q∂z)i+(∂P∂z−∂R∂x)j+(∂Q∂x−∂P∂y)k.........例19..向量场A(x,y,z)=(x+y+z)i+xyj+zk的旋度rotA=.����见讲义第四节同步习题.
