........第二节常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的解法(1)求二阶常系数齐次线性微分方程y′′+py′+qy=0的通解求特征方程r2+pr+q=0的根r1和r2，然后根据r1和r2的情况写出齐次方程的通解.•若r1和r2为不相等的实根，则y=C1er1x+C2er2x；•若r1和r2为相等的实根，则y=(C1+C2x)er1x；•若r1和r2为一对共轭复根α±βi，则y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)........(2)用待定系数法求非齐次方程y′′+py′+qy=f(x)的特解1⃝当f(x)=eλxPm(x)，其中λ为常数，Pm(x)是x的一个m次多项式时，原方程有形如y∗=xkRm(x)eλx的特解，其中Rm(x)是与Pm(x)同次的多项式.当λ不是特征方程的根时，k=0；当λ是特征方程的根时，k等于λ的重数.2⃝当f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Qn(x)sinωx]，其中λ，ω为常数，ω̸=0，Pl(x)，Qn(x)分别是x的l次、n次多项式，且仅有一个可为零时，原方程有形如y∗=xkeλx[R(1)m(x)cosωx+R(2)m(x)sinωx]的特解，其中R(1)m(x)，R(2)m(x)是m次多项式，m=max{l,n}.当λ+ωi(或λ−ωi)不是特征方程的根时，k=0；当λ+ωi(或λ−ωi)是特征方程的单根时，k=1.........例7..设函数y=y(x)在(−∞,+∞)内具有二阶导数，且y′̸=0，x=x(y)是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所满足的微分方程d2xdy2+(y+sinx)(dxdy)3=0变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y′(0)=32的解...............n阶常系数线性微分方程的解法1⃝由微分方程y(n)+p1y(n−1)+p2y(n−2)+···+pn−1y′+pny=0写出相应的特征方程.rn+p1rn−1+···+pn−1r+pn=0.2⃝解出特征方程的根，然后根据特征方程的根，写出其对应的微分方程的解.特征方程的根微分方程的通解中的对应项单实根r给出一项：Cerx一对单复根r1,2=α±βi给出两项：eαx(C1cosβx+C2sinβx)k重实根r给出k项：erx(C1+C2x+···+Ckxk−1)一对k重复根r1,2=α±βi给出2k项：eαx[(C1+C2x+···+Ckxk−1)cosβx+(D1+D2x+···+Dkxk−1)sinβx]........例8..在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是()(A)y′′′+y′′−4y′−4y=0.(B)y′′′+y′′+4y′+4y=0.(C)y′′′−y′′−4y′+4y=0.(D)y′′′−y′′+4y′−4y=0........欧拉方程(仅数一要求)形如xny(n)+p1xn−1y(n−1)+···+pn−1xy′+pny=f(x)的方程(其中p1，p2，···，pn为常数)，叫做欧拉方程.����见讲义第二节同步习题.
