........第二章一元函数微分学.1导数与微分的概念.2导数与微分的计算.3导数的应用.4函数的单调性、极值与最值.5曲线的凹凸性、拐点及渐近线.6一元微分学的综合应用.7一元微分学在经济学中的应用(数三)........第一节导数与微分的概念导数的定义设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量∆x(点x0+∆x仍在该邻域内)时，相应地，因变量取得增量∆y=f(x0+∆x)−f(x0)；若当∆x→0时，∆y与∆x之比的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为f′(x0)，即lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x,也可以写为f′(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)h或limx→x0f(x)−f(x0)x−x0........导数存在的充分必要条件f′(x0)存在的充分必要条件是左导数limh→0−f(x0+h)−f(x0)h及右导数limh→0+f(x0+h)−f(x0)h都存在且相等.导数存在性的判定分段函数导数表达式的变形.......思考(2022，二)已知函数f(x)在x=1处可导且limx→0f(ex2)−3f(1+sin2x)x2=2，求f′(1).可导性与连续性的关系如果函数f(x)在点x处可导，那么f(x)在点x处连续.连续是可导的必要条件.但连续不是可导的充分条件.........例1..下列命题中正确的是()(A)若函数f(x)在x=x0处不可导，则f(x)在x=x0处不连续.(B)若函数f(x)在x=x0处不连续，则f′−(x0)，f′+(x0)中至少有一个不存在.(C)若f′−(x0)，f′+(x0)存在，则函数f(x)在x=x0处可导.(D)若函数f(x)在x=x0处连续，则f(x)在x=x0处左可导并且右可导................例2..设f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是()(A)limh→+∞h[f(a+1h)−f(a)]存在.(B)limh→0f(a+2h)−f(a+h)h存在.(C)limh→0f(a+h)−f(a−h)2h存在.(D)limh→0f(a)−f(a−h)h存在................例3..设函数f(x)=limn→∞n√1+|x|3n，则f(x)在(−∞,+∞)内()(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点...............可微的定义设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+∆x在这区间内，若函数的增量∆y=f(x0+∆x)−f(x0)可表示为∆y=A∆x+o(∆x)，其中A是不依赖于∆x的常数，则称函数y=f(x)在点x0是可微的，而A∆x叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量∆x的微分，记作dy，即dy=A∆x.实际上，dy=f′(x)∆x.对一元函数来说，可导即可微.xyOMNx0f(x0)f(x)x0+�x�xo(�x)αdy�y...............例4..设函数f(u)可导，y=f(x2)，当自变量x在x=−1处取得增量∆x=−0.1时，相应的函数增量∆y的线性主部为0.1，则f′(1)=()(A)−1.(B)0.1.(C)1.(D)0.5.����见讲义第一节同步习题.
