........第五节差分方程差分设函数y=f(x)，记为yx.当x取遍非负整数时函数值可以排列成一个数列：y0,y1,···,yx,···,则差yx+1−yx称为函数yx的差分，也称为一阶差分，记为∆yx，即∆yx=yx+1−yx.∆(∆yx)=∆yx+1−∆yx=(yx+2−yx+1)−(yx+1−yx)=yx+2−2yx+1+yx,记为∆2yx，即∆2yx=∆(∆yx)=yx+2−2yx+1+yx，称为函数yx的二阶差分........差分方程的定义.1含有自变量x和两个或两个以上的yx，yx+1，···的函数方程，称为差分方程.方程中未知函数附标的最大值与最小值的差数称为差分方程的阶.n阶差分方程的一般形式为F(x,yx,yx+1,···,yx+n)=0.其中，F(x,yx,yx+1,···,yx+n)是x，yx，yx+1，···，yx+n的已知函数..2含有自变量x，未知函数yx，以及yx的差分∆yx，∆2yx，···的函数方程，称为差分方程.方程中未知函数差分的最高阶数，称为差分方程的阶.n阶差分方程的一般形式为F(x,yx,∆yx,···,∆nyx)=0.其中，F(x,yx,∆yx,···,∆nyx)是x，yx，∆yx，···，∆nyx的已知函数，且至少∆nyx要在方程中出现........一阶常系数线性差分方程形如yx+1−ayx=f(x)(a为非零常数)的方程称为一阶常系数线性差分方程，其中f(x)为已知函数，yx为未知函数.当f(x)̸=0时，该方程为非齐次方程；当f(x)=0时，该方程为齐次方程........一阶常系数线性差分方程的解法1⃝利用迭代法解出齐次差分方程yx+1−ayx=0的通解.˜yx=y0ax为该齐次差分方程的解，其中y0是初值.在初值未知的情况下，可设˜yx=Cax，其中C为任意常数.2⃝利用待定系数法求出原方程的一个特解.设一个与f(x)形式相同但含有待定系数的函数y∗x作为特解，代入原方程后求待定系数以确定所求特解y∗x.3⃝原方程的通解为yx=˜yx+y∗x........利用待定系数法求非齐次线性差分方程yx+1−ayx=f(x)的特解f(x)的形式a特解形式y∗xca̸=1y∗x=ka=1y∗x=kxcbxb̸=ay∗x=kbxb=ay∗x=kxbxcxna̸=1y∗x=B0+B1x+···+Bnxna=1y∗x=x(B0+B1x+···+Bnxn)........例15..差分方程∆2yx−yx=5的通解为.����见讲义第五节同步习题.
