........第五节曲线的凹凸性、拐点及渐近线��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������.......凹凸性的定义与几何性质设函数f(x)在区间I上连续，x1，x2为I中任意两点.不妨设x1f(x1)+f(x2)2，则称曲线y=f(x)在区间I上凸，如图(b)........(a)(b).......几何性质曲线与弦的位置关系过凹(凸)曲线y=f(x)上的任意两点的弦均位于该曲线之上(下).曲线与切线的位置关系凹(凸)曲线y=f(x)上的任意一点处的切线均位于该曲线之下(上)........拓展(2022，一、二)设函数f(x)在(−∞,+∞)上有二阶连续导数，证明：f′′(x)≥0的充分必要条件是对任意不同的实数a，b，都有f(a+b2)≤1b−a∫baf(x)dx成立.凹凸性与二阶导数的关系设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导.若在(a,b)内f′′(x)≥0，且等号仅在有限个点处成立，则曲线y=f(x)在[a,b]上凹；若在(a,b)内f′′(x)≤0，且等号仅在有限个点处成立，则曲线y=f(x)在[a,b]上凸.........例19..设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1−x)+f(1)x，则在区间[0,1]上()(A)当f′(x)≥0时，f(x)≥g(x).(B)当f′(x)≥0时，f(x)≤g(x).(C)当f′′(x)≥0时，f(x)≥g(x).(D)当f′′(x)≥0时，f(x)≤g(x)................例20..设函数fi(x)(i=1,2)具有二阶连续导数，且f′′i(x0)<0(i=1,2).若两条曲线y=fi(x)(i=1,2)在点(x0,y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某个邻域内，有()(A)f1(x)≤f2(x)≤g(x).(B)f2(x)≤f1(x)≤g(x).(C)f1(x)≤g(x)≤f2(x).(D)f2(x)≤g(x)≤f1(x)...............思考(2022，二)设f(x)在x=x0处有二阶导数，则()(A)当f(x)在x0的某邻域内单调增加时，f′(x0)>0.(B)当f′(x0)>0时，f(x)在x0的某邻域内单调增加.(C)当f(x)在x0的某邻域内是凹函数时，f′′(x0)>0.(D)当f′′(x0)>0时，f(x)在x0的某邻域内是凹函数........拐点的定义设y=f(x)在区间I上连续，x0是I内的点.若曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，则称点(x0,f(x0))是该曲线的拐点.拐点的必要条件若函数f(x)在区间I内二阶可导，x0是I内的点，且点(x0,f(x0))是曲...
