........第三节极限的计算���������������������������∞�∞0,∞0,0∞10·∞,,∞∞00�������������������.......极限计算三剑客泰勒公式洛必达法则等价无穷小替换.......常见的等价无穷小替换当x→0时，(1)sinx∼x,(2)tanx∼x,(3)1−cosx∼x22,(4)arcsinx∼x,(5)arctanx∼x,(6)(1+x)α−1∼αx(α̸=0),(7)ex−1∼x,(8)ax−1∼xlna,(9)ln(1+x)∼x,(10)loga(1+x)换底公式=======ln(1+x)lna∼xlna，其中a>0且a̸=1........常用的泰勒公式sinx=x−x33!+o(x3),arcsinx=x+x36+o(x3),tanx=x+x33+o(x3),arctanx=x−x33+o(x3),cosx=1−x22!+o(x2),ex=1+x+x22!+o(x2),11+x=1−x+x2+o(x2),ln(1+x)=x−x22+o(x2)........洛必达法则未定式条件结论00型设(1)limx→af(x)=0且limx→aF(x)=0；(2)在点a的某去心邻域内，f′(x)及F′(x)都存在且F′(x)̸=0；(3)limx→af′(x)F′(x)存在(或为无穷大)，则limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x).∞∞型设(1)limx→af(x)=∞且limx→aF(x)=∞；(2)在点a的某去心邻域内，f′(x)及F′(x)都存在且F′(x)̸=0；(3)limx→af′(x)F′(x)存在(或为无穷大)，∗∞型设(1)limx→aF(x)=∞(不要求limx→af(x)=∞)；(2)在点a的某去心邻域内，f′(x)及F′(x)都存在且F′(x)̸=0；(3)limx→af′(x)F′(x)存在(或为无穷大)，........使用洛必达法则时应注意的问题考虑极限limx→af(x)g(x)，a可以为∞.(1)在使用洛必达法则时，要对极限式的分子、分母进行讨论.只有当极限式为00型、∞∞型或∗∞型时，才可以使用洛必达法则.(2)在使用洛必达法则时，一定要注意分子、分母在求极限的点附近是否可导，并且分母的导数不为零.(3)对离散型函数不能直接使用洛必达法则，需将其连续化.(4)洛必达法则通过计算limx→af′(x)g′(x)来得到limx→af(x)g(x).它很有效，但并不是通用的.有时候，即使limx→af′(x)g′(x)不存在，limx→af(x)g(x)也可能存在.(5)若limx→af′(x)g′(x)仍为未定式极限，则应继续化简并重复上述求极限的步骤........���������������������������������������������������������������������������������������������������������........例9..计算下列极限.(1)limx→0ex−sinx−11−√1−x2.(2)limx→0+(cos√x)πx.(3)limx→+∞(x1x−1)1lnx.(4)limx→0(1+x1−e−x−1x).(5)limx→0(2+e1x1+e4x+sinx|x|).(6)limx→0etanx−esinxx3.............................����见讲义第三节同步习题.
