........第八章曲线积分与曲面积分�����������������������������������������������������������������������������������������������........第一节曲线积分（一）第一类曲线积分的定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数f(x,y)在L上有界.在L上任意插入一点列M1，M2，···，Mn−1把L分成n个小段.设第i个小段的长度为∆si.又(ξi,ηi)为第i个小段上任意取定的一点，作乘积f(ξi,ηi)∆si(i=1,2,···,n)，并作和n∑i=1f(ξi,ηi)∆si.若当各小弧段的长度的最大值λ→0时，这和的极限总存在，且与曲线弧L的分法及点(ξi,ηi)的取法无关，则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分(以后我们均采用第二种名称)，记作´Lf(x,y)ds，即ˆLf(x,y)ds=limλ→0n∑i=1f(ξi,ηi)∆si,其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段........第一类曲线积分的性质(1)线性性设α，β为常数，则ˆL[αf(x,y)+βg(x,y)]ds=αˆLf(x,y)ds+βˆLg(x,y)ds.(2)可加性若积分弧段L可划分成两段光滑曲线弧L1和L2，则ˆLf(x,y)ds=ˆL1f(x,y)ds+ˆL2f(x,y)ds.(3)若在区域D上，f(x,y)≡1，L为D内一条分段光滑曲线，l为L的长度，则l=ˆLds........(4)设在L上，f(x,y)≤g(x,y)，则ˆLf(x,y)ds≤ˆLg(x,y)ds.特别地，有����ˆLf(x,y)ds����≤ˆL|f(x,y)|ds........第一类曲线积分的计算基本方法将积分弧段参数化后把曲线积分化为定积分.设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，(1)曲线L由参数方程表示的情形L的参数方程为x=φ(t)，y=ψ(t)(α≤t≤β).若φ(t)，ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导数，且[φ′(t)]2+[ψ′(t)]2̸=0，则曲线积分´Lf(x,y)ds存在，且ˆLf(x,y)ds=ˆβαf(φ(t),ψ(t))√[φ′(t)]2+[ψ′(t)]2dt........(2)曲线L由y=ψ(x)(x0≤x≤x1)表示的情形可以把这种情况看作特殊的参数方程：x=x，y=ψ(x)(x0≤x≤x1)，从而有ˆLf(x,y)ds=ˆx1x0f(x,ψ(x))√1+[ψ′(x)]2dx.(3)曲线L由x=φ(y)(y0≤y≤y1)表示的情形与(2)类似.(见讲义)(4)曲线L由极坐标形式r=r(θ)(α≤θ≤β)表示的情形ˆLf(x,y)ds=ˆβαf(r(θ)cosθ,r(θ)sinθ)√[r(θ)]2+[r′(θ)]2dθ.(5)空间曲线弧情形.(见讲义)........例1..求´Lyds，其中L为抛物线y2=x上连接点A(0,0)到点B(1,−1)的曲线弧........第一类曲线积分的对称性.1积分弧段关于坐标面对称.(见讲...
