........第三章一元函数积分学.1定积分的概念与性质.2积分的计算.3变限积分.4反常积分的计算.5定积分的应用........第一节定积分的概念与性质原函数与不定积分的定义若在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对任意的x∈I，都有F′(x)=f(x)，则函数F(x)称为f(x)在区间I上的一个原函数.在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记作∫f(x)dx，其中记号∫称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量........导函数不存在第一类间断点，有第一类间断点的函数没有原函数.1⃝若函数f(x)在x=a处左连续，在x=a的左邻域(a−δ,a)(δ>0)内可导，且limx→a−f′(x)=A，则f′−(a)存在且f′−(a)=A.右导数的情形也有类似结论.2⃝若函数f(x)在x=a处连续，在x=a的去心邻域◦U(a,δ)(δ>0)内可导，且limx→af′(x)=A，则f′(a)存在且f′(a)=A.不连续，但是存在原函数的f(x)的例子.考虑函数F(x)，f(x).F(x)={x2sin1x,x̸=0,0,x=0.f(x)={2xsin1x−cos1x,x̸=0,0,x=0.........例1..已知函数f(x)=2(x−1),x<1,lnx,x≥1,则f(x)的一个原函数是()(A)F(x)={(x−1)2,x<1,x(lnx−1),x≥1.(B)F(x)={(x−1)2,x<1,x(lnx+1)−1,x≥1.(C)F(x)={(x−1)2,x<1,x(lnx+1)+1,x≥1.(D)F(x)={(x−1)2,x<1,x(lnx−1)+1,x≥1...............定积分的定义有界闭区间[a,b]，有界函数f(x).划分区间[a,b]，∆xi.在每个小区间上任意取点ξi.作和S=n∑i=1f(ξi)∆xi.取极限limλ→0n∑i=1f(ξi)∆xi.(划分足够细时，和的极限总存在，且与区间的分法以及点的取法无关.)........例2..设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则∫10f(x)dx=()(A)limn→∞n∑k=1f(2k−12n)12n.(B)limn→∞n∑k=1f(2k−12n)1n.(C)limn→∞2n∑k=1f(k−12n)1n.(D)limn→∞2n∑k=1f(k2n)2n.........例3..limn→∞n(11+n2+122+n2+···+1n2+n2)=........定积分的性质.1线性性设α与β均为常数，则∫ba[αf(x)+βg(x)]dx=α∫baf(x)dx+β∫bag(x)dx..2对区间的可加性设a
