........第三节傅里叶级数(数一)傅里叶级数设f(x)是周期为2π的函数，若积分∫π−πf(x)cosnxdx(n=0,1,2,3,···)和∫π−πf(x)sinnxdx(n=1,2,3,···)均存在，记an=1π∫π−πf(x)cosnxdx(n=0,1,2,3,···),bn=1π∫π−πf(x)sinnxdx(n=1,2,3,···),则a0，a1，b1，a2，b2，···称为函数f(x)的傅里叶系数，所得三角级数a02+∞∑n=1(ancosnx+bnsinnx)称为函数f(x)的傅里叶级数........设f(x)为周期为2π的函数，在[−π,π)上，f(x)={1,x∈[0,π),−1,x∈[−π,0).记fn(x)为它的傅里叶级数的前n项部分和.f2(x)=b1sinx，其图像为一个正弦波的图像；f4(x)=b1sinx+b3sin3x，其图像为2个正弦波叠加的图像；f8(x)=b1sinx+b3sin3x+b5sin5x+b7sin7x，其图像为4个正弦波叠加的图像........分别来看f2(x)，f4(x)，f8(x)的图像以及f105(x)的图像........狄利克雷定理设f(x)是周期为2l的函数，若它满足(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，(2)在一个周期内至多只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，并且•当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)；•当x是f(x)的间断点时，级数收敛于12[f(x−)+f(x+)]........周期为2l的函数的傅里叶级数展开式设周期为2l的函数f(x)满足狄利克雷收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为f(x)=a02+∞∑n=1(ancosnπxl+bnsinnπxl)(x∈C),其中an=1l∫l−lf(x)cosnπxldx(n=0,1,2,···),bn=1l∫l−lf(x)sinnπxldx(n=1,2,3,···),C={x���f(x)=12[f(x−)+f(x+)]}.........例11..设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(−1,1]上的定义为f(x)=2,−1
