........第二节二重积分的计算����������������������������������������������������������������������������������������������x����������y具有奇偶性��y����������x具有奇偶性����y=x�����������������������X�����y�xY�����x�y�������������������������||�[]�max�min�������.......二重积分中的轮换对称性设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数.当积分区域D关于直线y=x对称时，则(1)˜D1f(x,y)dσ=˜D2f(y,x)dσ，其中D1和D2分别为D位于直线y=x以上的部分和D位于直线y=x以下的部分.(2)˜Df(x,y)dσ=˜Df(y,x)dσ.(3)˜Df(x,y)dσ=12˜D[f(x,y)+f(y,x)]dσ........常见的具有轮换对称性的平面区域D={(x,y)|−a≤x≤a,−a≤y≤a}.D={(x,y)|x2+y2≤a2}.D={(x,y)|a2≤x2+y2≤b2,x≥0,y≥0}.D={(x,y)|0≤x≤a,0≤y≤a}.D={(x,y)|(x−a)2+(y−a)2≤a2}.D={(x,y)||x|+|y|≤a}.Oy=xaa�a�a���yx�........例5..设正值函数f连续，a，b，c均为非零常数，求曲面(z−a2)f(x)+(z−b2)f(y)=0和柱面|x|+|y|=c及平面z=0围成的空间立体的体积........在直角坐标系下计算二重积分(i)将二重积分化为先对y、后对x的二次积分.¨Df(x,y)dσ=ˆba[ˆφ2(x)φ1(x)f(x,y)dy]dx.(ii)将二重积分化为先对x、后对y的二次积分.¨Df(x,y)dσ=ˆdc[ˆψ2(y)ψ1(y)f(x,y)dx]dy........在极坐标系下计算二重积分点M的直角坐标(x,y)与极坐标(r,θ)的关系为x=rcosθ,y=rsinθ.若在极坐标系下计算二重积分，则有公式¨Df(x,y)dσ=¨Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ,其中rdrdθ为极坐标系中的面积元素，有时也采用ρdρdθ这种记号.........例6..设区域D由曲线y=sinx，x=±π2，y=1围成，则˜D(xy5−1)dxdy=()(A)π.(B)2.(C)−2.(D)−π.........例7..设函数f(u)连续，区域D={(x,y)|x2+y2≤2y}，则˜Df(xy)dxdy等于()(A)´1−1dx´√1−x2−√1−x2f(xy)dy.(B)2´20dy´√2y−y20f(xy)dx.(C)´π0dθ´2sinθ0f(r2sinθcosθ)dr.(D)´π0dθ´2sinθ0f(r2sinθcosθ)rdr.........例8..设区域D为x2+y2≤R2，则˜D(x2a2+y2b2)dxdy=.........例9..计算二重积分I=˜Dr2sinθ√1−r2cos2θdrdθ，其中D={(r,θ)|0≤r≤secθ,0≤θ≤π4}...............交换积分次序1⃝根据二次积分的上、下限，写出积分区域的边界.2⃝由积分区域的边界，画出积分区域，或者写出积分区域的表达式.3⃝交换积分次序，即用不同于原二次积分的积分次序写出新的二次积分并计算..例10..交换二次积分的积分次序：´0−1dy´1−y2f(x,y)dx=........����见讲义第二节同步习题.
