-1-第三讲柯西不等式与排序不等式-2-一二维形式的柯西不等式-3-一二维形式的柯西不等式ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.认识柯西不等式的几种不同形式,理解其几何意义.2.通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题.-4-一二维形式的柯西不等式ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.对柯西不等式的理解剖析:柯西不等式的几种形式,都涉及对不等式的理解与记忆,因此,二维形式的柯西不等式可以理解为四个有顺序的数来对应的一种不等关系,或构造成一个不等式,如基本不等式是由两个数来构造的,但怎样构造要仔细体会.(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,(a2+b2)(d2+c2)≥(ad+bc)2,谁与谁组合、联系,要有一定的认识.2.柯西不等式取等号的条件剖析:柯西不等式取等号的条件不易记住,我们可以多方面联系来记忆,如(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,取等号的条件是“ad=bc”,有点像a,b,c,d成等比时,ad=bc;柯西不等式的向量形式中|α·β|≤|α||β|,取等号的条件是β=0或存在实数k,使α=kβ.我们可以从向量的数量积的角度来理解和记忆.-5-一二维形式的柯西不等式ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一柯西不等式等号成立的条件【例1】设a,b∈R,且a2+b2=10,求3a+b的最大值与最小值.解:利用柯西不等式得(3a+b)2=(a·3+b·1)2≤(a2+b2)(32+12)=10×10=100,即(3a+b)2≤100,∴|3a+b|≤10,-10≤3a+b≤10,当且仅当a=3b时,等号成立.又a2+b2=10,∴a2=9,b2=1.∴当a=-3,b=-1时,3a+b有最小值-10;当a=3,b=1时,3a+b有最大值10.-6-一二维形式的柯西不等式ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】已知2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值.解: (4x2+9y2)(22+22)≥(4x+6y)2=4,∴4x2+9y2≥12,当且仅当2×2x=3y×2,即2x=3y时,等号成立.又2x+3y=1,得x=14,y=16.故当x=14,y=16时,4x2+9y2的最小值为12.-7-一二维形式的柯西不等式ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二利用柯西不等式证明某些不等式【例2】设a,b>0,且a+b=2.求证:𝑎22-𝑎+𝑏22-𝑏≥2.分析:利用柯西不等式前,需要观察不等式的结构特点,本题可以看作是求𝑎22-𝑎+𝑏22-𝑏的最小值,因而需出现(a2+b2)·(c2+d2)的结构.把𝑎22-𝑎+𝑏22-𝑏视为其中的一个括号内的部分,另一部分可以是(2-a)+(2-b).-8-一二维形式的柯西不等式ZHONG...
