-1-三平面与圆锥面的截线-2-三平面与圆锥面的截线ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.了解不平行于底面且不通过圆锥的顶点的平面截圆锥的形状是椭圆、抛物线、双曲线.2.感受平面截圆锥的形状,并从理论上证明.3.通过Dandelin双球探求双曲线的性质,理解这种证明问题的方法.-3-三平面与圆锥面的截线ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航在定理2中,当β<α时,探究截线形状剖析:如图,当β<α时,平面π与圆锥面的两部分相交,在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球,与平面π的两个切点分别为F1,F2,与圆锥两部分截的圆分别为S1,S2.在截口上任取一点P,连接PF1,PF2.过点P和圆锥的顶点O作母线,分别与两球切于Q1,Q2点,则PF1=PQ1,PF2=PQ2,所以|PF1-PF2|=|PQ1-PQ2|=Q1Q2,所以Q1Q2是两圆S1,S2所在平行平面间的母线段的长,且为定值.所以由双曲线的定义知,点P的轨迹为双曲线.-4-三平面与圆锥面的截线ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一利用Dandelin双球研究圆锥曲线【例1】如图,讨论其中双曲线的离心率.其中π'是Dandelin球与圆锥交线S2所在的平面,与π的交线为m.-5-三平面与圆锥面的截线ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三解:点P是双曲线上任意一点,连接PF2,过点P作PA⊥m于点A,连接AF2,过点P作PB⊥平面π'于点B,连接AB,过点P作母线交S2于点Q2. PB平行于圆锥的轴,∴∠BPA=β,∠BPQ2=α.在Rt△BPA中,PA=𝑃𝐵cos𝛽.在Rt△BPQ2中,PQ2=𝑃𝐵cos𝛼.由切线长定理,得PF2=PQ2,∴PF2=𝑃𝐵cos𝛼.∴e=𝑃𝐹2𝑃𝐴=cos𝛽cos𝛼. 0<β<α<π2,∴cosβ>cosα.∴e>1.同理,另一分支上的点也具有同样的性质,综上所述,双曲线的准线为m,离心率e=cos𝛽cos𝛼.-6-三平面与圆锥面的截线ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】在圆锥内部嵌入Dandelin双球,一个位于平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π及圆锥均相切.若平面π与双球的切点不重合,则平面π与圆锥面的截线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:由于平面π与双球的切点不重合,则平面π与圆锥母线不平行,且只与圆锥的一半相交,则截线是椭圆.答案:B-7-三平面与圆锥面的截线ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二圆锥曲线几何性质应用【例2】已知...
